§22Ὄτι μὲν οὖν ἔκ γε τῶν εἰρημένων λόγων οὔτ’ ἀναγκαῖον ἀτόμους εἶναι γραμμὰς οὔτε πιθανόν, φανερόν.
따라서 앞서 언급된 논증들로부터 불가분한 선이 존재한다는 것은 필연적이지도 않고 설득력도 없다는 점이 분명하다.
Ἔτι δὲ καὶ ἐκ τῶνδε γένοιτ’ ἂν φανερώτερον.
더욱이 다음의 사실들로부터 이는 더욱 분명해질 것이다.
Πρῶτον μὲν ἐκ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι δεικνυμένων καὶ τιθεμένων, ἃ οὐ δίκαιον ἢ πιστοτέροις λόγοις κινεῖν.
첫째로, 수학에서 증명되고 전제되는 사실들로부터 그러한데, 더 신뢰할 수 있는 논증에 의하지 않고서는 이것들을 뒤흔드는 것은 옳지 않기 때문이다.
§23Οὔτς γὰρ ὁ τῆς γραμμῆς οὔτε ὁ τῆς εὐθείας ὅρος ἐφαρμόσει τῇ ἀτόμῳ διὰ τὸ μήτε μεταξὺ τινῶν εἶναι μήτ’ ἔχειν μέσον.
왜냐하면 선의 정의도 직선의 정의도 불가분한 것에는 적용되지 않을 것이기 때문인데, 그것은 어떤 것들의 사이에 존재하지도 않고 중간을 가지지도 않기 때문이다.
Ἔπειτα πᾶσαι αἱ γραμμαὶ σύμμετροι ἔσονται.
다음으로, 모든 선은 통약 가능하게 될 것이다.
Πᾶσαι γὰρ ὑπὸ τῶν ἀτόμων μετρηθήσονται, αἵ τε μήκει σύμμετροι καὶ αἱ δυνάμει.
왜냐하면 길이에서 통약 가능한 선이든 제곱(힘)에서 통약 가능한 선이든, 모든 선이 불가분한 것들에 의해 측정될 것이기 때문이다.
§24Αἱ δὲ ἄτομοι σύμμετροι πᾶσαι μήκει·
그리고 불가분한 선들은 모두 길이에서 통약 가능하다.
ἴσαι γάρ·
서로 같기 때문이다.
ὥστε καὶ δυνάμει.
따라서 제곱에서도 그러하다.
Εἰ δὲ τοῦτο, διαιρετὸν ἔσται τὸ τετράγωνον.
만약 이것이 사실이라면, 정사각형은 분할 가능하게 될 것이다.
Ἔτι εἰ ἡ περὶ τὴν μείζω τὸ πλάτος ποιεῖ παραβαλλομένη, τὸ ἴσον τῶν ἀπὸ τῆς ἀτόμου καὶ τῆς ποδιαίας παραβαλλομένων περὶ τὴν δίπουν ἔλαττον ποιήσει τὸ πλάτος τῆς ἀμεροῦς·
더욱이 만약 더 큰 선에 적용된 정사각형이 그 폭을 결정한다면, 불가분한 선과 1피트의 선으로부터 만들어진 정사각형들의 합과 같은 면적을 2피트의 선에 적용할 때, 그것은 불가분한 선의 폭보다 더 작은 폭을 만들 것이다.
ἔσται ἔλαττον τὸ περὶ τῆς ἀτόμου.
즉, 불가분한 선에 관한 폭이 더 작아지게 될 것이다.
§25Ἔτι εἰ ἐκ τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν συνίσταται τρίγωνον, καὶ ἐκ τῶν ἀτόμων συσταθήσεται.
더욱이 만약 주어진 세 직선으로부터 삼각형이 구성된다면, 불가분한 선들로부터도 구성될 것이다.
Ἐν ἅπαντι δὲ ἰσοπλεύρῳ ἡ κάθετος ἐπὶ μέσην πίπτει, ὥστε καὶ ἐπὶ τὴν ἄτομον.
그리고 모든 정삼각형에서 수선은 밑변의 중점에 떨어지므로, 불가분한 선 위에도 떨어질 것이다.
Ἔτι εἰ τὸ τετράγωνον τῶν ἁμερῶν διὰ μέσου ἐμπεσούσης καὶ καθέτου ἀχθείσης, ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τὴν κάθετον δύναται καὶ τὴν ἡμίσειαν τῆς διαμέτρου, ὥστε οὐκ ἐλαχίστη.
더욱이 만약 불가분한 것들로 이루어진 정사각형에서 중점을 통과하는 수선이 그어질 때, 정사각형의 한 변(의 제곱)은 수선(의 제곱)과 밑변의 절반(의 제곱)의 합과 같으므로, 그것은 가장 작은 선이 아니다.
§26Οὐδὲ διπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου χωρίον ἔσται τοῦ ἀπὸ τῆς ἀτόμου.
또한 대각선 위의 정사각형 면적은 불가분한 선 위의 정사각형 면적의 두 배가 되지 않을 것이다.
Ἀφαιρεθέντος γὰρ τοῦ ἴσον ἡ λοιπὴ ἔσται ἐλάσσων τῆς ἀμεροῦς.
왜냐하면 같은 부분이 빼졌을 때 남은 부분은 불가분한 것보다 작아질 것이기 때문이다.
Εἰ γὰρ ἴσως τετραπλάσιον ἂν ἔγραψεν ἡ διάμετρος, ἄλλα δ’ ἄν τις καὶ ἕτερα τοιαῦτα συνάγοι·
만약 대각선이 실제로 네 배의 면적을 그린다면, 사람들은 이와 유사한 다른 많은 결론들을 도출할 수 있을 것이다.
πᾶσι γὰρ ὡς εἰπεῖν ἐναντιοῦται τοῖς ἐν τοῖς μαθήμασιν.
왜냐하면 이는 말하자면 수학의 모든 사실에 상반되기 때문이다.
§27Πάλιν τοῦ μὲν ἀμεροῦς μία ἡ σύναψις, γραμμῆς δὲ δύο·
다시 말해, 불가분한 것의 접촉은 하나뿐인 반면, 선의 접촉은 두 가지이다.
καὶ γὰρ ὅλη ὅλης ἅπτεται, καὶ κατὰ τὸ πέρας ἐξ ἐναντίας.
왜냐하면 전체가 전체에 접하거나, 혹은 끝점에서 서로 반대 방향으로 접하기 때문이다.
Ἔτι γραμμὴ προστεθεῖσα οὐ ποιεῖ μείζω τὴν ὅλην·
더욱이 덧붙여진 선은 전체를 더 크게 만들지 못한다.
τὰ γὰρ ἀμερῆ συντιθέμενα οὐ ποιήσει μεῖζον.
왜냐하면 불가분한 것들이 결합되더라도 더 큰 것을 만들지 못하기 때문이다.
§28Ἔτι ἐκ δυοῖν ἀμεροῖν μηδὲν γίνεσθαι συνεχὲς διὰ τὸ πλείους διαιρέσεις ἔχειν ἅπαν τὸ συνεχές·
더욱이 두 불가분한 것으로부터는 아무런 연속적인 것도 생겨나지 않는데, 모든 연속적인 것은 더 많은 분할을 가지기 때문이다.
ἅπασα δὲ γραμμὴ παρὰ τὴν ἄτομον συνεχὴς οὐκ ἄν εἴη γραμμὴ ἄτομος.
그리고 불가분한 선을 제외한 모든 선은 연속적이므로, 불가분한 선이란 존재하지 않을 것이다.
Ἔτι εἰ ἅπασα γραμμὴ παρὰ τῆς ἀτόμου καὶ ἴσα καὶ ἄνισα ὄιαιρεῖται, καὶ μὴ ἐκ τριῶν ἀτόμων καὶ ὅλως περιττῶν, ὥστ’ ἀδιαίρετος ἡ ἄτομος.
더욱이 만약 불가분한 선을 제외한 모든 선이 같은 부분과 같지 않은 부분으로 분할되고, 세 개의 불가분한 것(혹은 일반적으로 홀수 개)으로 구성되지 않는다면, 불가분한 선은 분할 불가능해야만 한다.
§29Ὁμοίως δὲ κἄν εἰ δίχα τέμνεται·
마찬가지로 그것이 이등분된다고 해도 불합리하다.
πᾶσα γὰρ ἡ ἐκ τῶν περιττῶν.
홀수 개로 이루어진 모든 선이 그러하기 때문이다.
Εἰ δὲ δίχα μὲν μὴ πᾶσα τέμνεται ἀλλ’ ἡ ἐκ τῶν ἀρτίων, τὴν δὲ δίχα διαιρουμένην καὶ ὅσα δυνατὸν τέμνειν, διαιρεθήσεται καὶ οὕτως ἄτομος, ὅταν ἡ ἐκ τῶν ἀρτίων εἰς ἄνισα διαιρῆται.
그러나 모든 선이 이등분되는 것이 아니라 짝수 개로 이루어진 선만이 이등분되고, 그 이등분되는 선을 가능한 한 계속 분할한다면, 짝수 개로 이루어진 선이 같지 않은 부분들로 분할될 때, 불가분한 선 역시 이러한 방식으로 분할되고 말 것이다.
§30Πάλιν εἰ τὸ κεκινημένον ἐν ᾦ χρόνῳ κινεῖται τὴν ὅλην ἐν τῷ ἡμίσει τὴν ἡμίσειαν κινηθήσεται, καὶ ἐν τῷ ἐλάττονι ἔλαττον ἢ τὴν ἡμίσειαν, ὥστ’ εἰ μὲν περιττῶν σύγκειται τῶν ἀτόμων τὸ μῆκος, ἀναιρεθήσεται ἡ μέση τομὴ τῶν ἀτόμων, εἴπερ ἐν τῷ ἡμίσει χρόνῳ τὸ ἥμισυ δίεισιν·
다시 말해, 만약 운동하는 것이 어떤 시간 안에서 전체 거리를 운동한다면, 절반의 시간 안에서는 절반의 거리를 운동할 것이고, 더 적은 시간 안에서는 절반보다 더 적은 거리를 운동할 것이다.
ὁμοίως γὰρ ὅ τε χρόνος καὶ ἡ γραμμὴ τμηθήσεται.
따라서 만약 그 길이가 홀수 개의 불가분한 것들로 구성되어 있다면, 만약 그것이 정말로 절반의 시간 안에서 절반의 거리를 통과할 때, 불가분한 것의 중간을 자르는 것은 부정될 것이다.
§31Ὤστε οὐδεμία τῶν συγκειμένων τμηθήσεται εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, οὐδ’ ὁμοίως τοῖς χρόνοις τμηθήσονται.
시간과 선이 모두 마찬가지로 분할될 것이기 때문이다.
Οὐκ ἔσονται ἄτομοι γραμμαί.
따라서 합성된 선들 중 어느 것도 같은 부분이나 같지 않은 부분으로 분할되지 않을 것이며, 시간의 분할과 유사한 방식으로 분할되지도 않을 것이다.
Τὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ λόγου ἐστί, καθάπερ ἐλέχθη, τὸ πάντα ταῦτα ποιεῖν ἐξ ἀμερῶν.
불가분한 선은 존재하지 않을 것이다. 그리고 이미 언급했듯이, 이 모든 것들을 불가분한 것들로부터 만드는 것은 동일한 논증에 귀착된다.
Ἔτι ἄπασα ἡ μὴ ἄπειρος δύο ἔχει πέρατα·
더욱이 무한하지 않은 모든 선은 두 개의 끝점을 가진다.
γραμμὴ γὰρ ὥρισται τούτοις.
선은 이것들에 의해 정의되기 때문이다.