§2.1.10Λέγω δʼ ἀρχὰς ἐν ἑκάστῳ γένει ταύτας ἃς ὅτι ἔστι μὴ ἐνδέχεται δεῖξαι.
私は各々の類における原理とは、存在することを証明することができないもののことであると言う。
τί μὲν οὖν σημαίνει καὶ τὰ πρῶτα καὶ τὰ ἐκ τούτων, λαμβάνεται, ὅτι δʼ ἔστι, τὰς μὲν ἀρχὰς ἀνάγκη λαμβάνειν, τὰ δʼ ἄλλα δεικνύναι·
したがって、第一のものも、それらから導かれるものも、何を意味するかは受け入れられるが、存在することについては、原理についてはそれを受け入れる必要があり、他のものについては証明しなければならない。
οἷον τί μονὰς ἢ τί τὸ εὐθὺ καὶ τρίγωνον, εἶναι δὲ τὴν μονάδα λαβεῖν καὶ μέγεθος, τὰ δʼ ἕτερα δεικνύναι.
例えば、単位とは何か、あるいは直線や三角形とは何かが［受け入れられる］。 しかし、単位や大きさが存在することは受け入れ、他のものは証明するのである。
Ἔστι δʼ ὧν χρῶνται ἐν ταῖς ἀποδεικτικαῖς ἐπιστήμαις τὰ μὲν ἴδια ἑκάστης ἐπιστήμης τὰ δὲ κοινά, κοινὰ δὲ κατʼ ἀναλογίαν, ἐπεὶ χρήσιμόν γε ὅσον ἐν τῷ ὑπὸ τὴν ἐπιστήμην γένει·
証明的な諸科学において用いられるもののうち、あるものは各々の科学に固有のものであり、あるものは共通のものである。 ただし、共通というのは類比による共通であり、その科学の下にある類において必要な範囲において有用であるからである。
ἴδια μὲν οἷον γραμμὴν εἶναι τοιονδὶ καὶ τὸ εὐθύ, κοινὰ δὲ οἷον τὸ ἴσα ἀπὸ ἴσων ἂν ἀφείη, ὅτι ἴσα τὰ λοιπά.
固有のものとは、例えば、線がこのようなものであることや、直線がそうであることであり、共通のものとは、例えば、等しいものから等しいものが引かれるならば、残りは等しい、ということである。
ἱκανὸν δʼ ἕκαστον τούτων ὅσον ἐν τῷ γένει·
これらの各々は、その類において適用される範囲において十分である。
ταὐτὸ γὰρ ποιήσει, κἂν μὴ κατὰ πάντων λάβῃ ἀλλʼ ἐπὶ μεγεθῶν μόνον, τῷ δʼ ἀριθμητικῷ ἐπʼ ἀριθμῶν.
なぜなら、たとえすべてについて前提するのではなく、大きさについてのみ前提したとしても、あるいは算術家にとって数についてのみ前提したとしても、同じ結果をもたらすからである。
Ἔστι δʼ ἴδια μὲν καὶ ἃ λαμβάνεται εἶναι, περὶ ἃ ἡ ἐπιστήμη θεωρεῖ τὰ ὑπάρχοντα καθʼ αὑτά, οἷον μονάδας ἡ ἀριθμητική, ἡ δὲ γεωμετρία σημεῖα καὶ γραμμάς.
また、存在することが仮定される固有のもの、すなわち科学がそれ自体として属する性質を考察する対象となるものもある。 例えば、算術における単位であり、幾何学における点や線である。
ταῦτα γὰρ λαμβάνουσι τὸ εἶναι καὶ τοδὶ εἶναι.
なぜなら、これらについては、存在すること、および、このようなものであるということが受け入れられるからである。
τὰ δὲ τούτων πάθη καθʼ αὑτά, τί μὲν σημαίνει ἕκαστον, λαμβάνουσιν, οἷον ἡ μὲν ἀριθμητικὴ τί περιττὸν ἢ ἄρτιον ἢ τετράγωνον ἢ κύβος, ἡ δὲ γεωμετρία τί τὸ ἄλογον ἢ τὸ κεκλάσθαι ἢ νεύειν, ὅτι δʼ ἔστι, δεικνύουσι διά τε τῶν κοινῶν καὶ ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων.
一方、これらにそれ自体として属する属性については、各々が何を意味するかは受け入れられる。 例えば、算術においては、奇数、偶数、平方数、あるいは立方数とは何かであり、幾何学においては、無理量、屈折、あるいは傾斜とは何かである。 しかし、それらが存在することは、共通の公理を通じて、またすでに証明された事柄から証明される。
καὶ ἡ ἀστρολογία ὡσαύτως.
天文学においても同様である。
πᾶσα γὰρ ἀποδεικτικὴ ἐπιστήμη περὶ τρία ἐστίν, ὅσα τε εἶναι τίθεται (ταῦτα δʼ ἐστὶ τὸ γένος, οὗ τῶν καθʼ αὑτὰ παθημάτων ἐστὶ θεωρητική), καὶ τὰ κοινὰ λεγόμενα ἀξιώματα, ἐξ ὧν πρώτων ἀποδείκνυσι, καὶ τρίτον τὰ πάθη, ὧν τί σημαίνει ἕκαστον λαμβάνει.
なぜなら、すべての証明的科学は3つのものに関わっているからである。 すなわち、第一に、存在すると仮定されるもの（これは、それ自体としての属性を考察する対象である「類」である）、第二に、いわゆる「共通の公理」であり、それらを第一の前提として証明が行われる。 そして第三に、「属性」であり、これについては各々が何を意味するかが受け入れられる。
ἐνίας μέντοι ἐπιστήμας οὐδὲν κωλύει ἔνια τούτων παρορᾶν, οἷον τὸ γένος μὴ ὑποτίθεσθαι εἶναι, ἂν ᾖ φανερὸν ὅτι ἔστιν (οὐ γὰρ ὁμοίως δῆλον ὅτι ἀριθμὸς ἔστι καὶ ὅτι ψυχρὸν καὶ θερμόν), καὶ τὰ πάθη μὴ λαμβάνειν τί σημαίνει, ἂν ᾖ δῆλα·
しかしながら、いくつかの科学においては、これらのうちの幾つかを明示しないでおくことを妨げるものは何もない。 例えば、類が存在することが明白である場合には、その存在を仮定しないことである（なぜなら、数が存在することと、冷・温が存在することは、同じようには明白ではないからである）。 また、属性が何を意味するかについても、それが明白であれば、前提として受け入れないことである。
ὥσπερ οὐδὲ τὰ κοινὰ οὐ λαμβάνει τί σημαίνει τὸ ἴσα ἀπὸ ἴσων ἀφελεῖν, ὅτι γνώριμον.
それはちょうど、共通のものについても、等しいものから等しいものを引くということが何を意味するかを受け入れないのと同様である。 なぜなら、それはすでに知られているからである。
ἀλλʼ οὐδὲν ἧττον τῇ γε φύσει τρία ταῦτά ἐστι, περὶ ὅ τε δείκνυσι καὶ ἃ δείκνυσι καὶ ἐξ ὧν.
しかしそれにもかかわらず、本性上はこれら3つのものが存在する。 すなわち、それについて証明が行われる対象、証明される事柄、そしてそれに基づいて証明が行われる出発点である。
Οὐκ ἔστι δʼ ὑπόθεσις οὐδʼ αἴτημα, ὃ ἀνάγκη εἶναι διʼ αὑτὸ καὶ δοκεῖν ἀνάγκη.
また、それ自体によって必然的に存在し、かつ必然的にそう思われるものは、仮定でも要請でもない。
οὐ γὰρ πρὸς τὸν ἔξω λόγον ἡ ἀπόδειξις, ἀλλὰ πρὸς τὸν ἐν τῇ ψυχῇ, ἐπεὶ οὐδὲ συλλογισμός.
なぜなら、証明は外的な議論に対して行われるのではなく、魂の中の議論に対して行われるのであり、三段論法もまた同様だからである。
ἀεὶ γὰρ ἔστιν ἐνστῆναι πρὸς τὸν ἔξω λόγον, ἀλλὰ πρὸς τὸν ἔσω λόγον οὐκ ἀεί.
なぜなら、外的な議論に対しては常に反対することが可能であるが、内的な議論に対しては常にそうできるわけではないからである。
ὅσα μὲν οὖν δεικτὰ ὄντα λαμβάνει αὐτὸς μὴ δείξας, ταῦτʼ, ἐὰν μὲν δοκοῦντα λαμβάνῃ τῷ μανθάνοντι, ὑποτίθεται, καὶ ἔστιν οὐχ ἀπλῶς ὑπόθεσις ἀλλὰ πρὸς ἐκεῖνον μόνον, ἂν δὲ ἢ μηδεμιᾶς ἐνούσης δόξης ἢ καὶ ἐναντίας ἐνούσης λαμβάνῃ τὸ αὐτό, αἰτεῖται.
したがって、証明可能であるにもかかわらず、自分では証明せずに前提として受け入れるもののうち、もし学習者にとって同意できるものとして受け入れるならば、それは「仮定」であり、それは無条件の仮定ではなく、ただその学習者に対してのみ仮定なのである。 しかし、学習者に何の意見もないか、あるいは反対の意見があるにもかかわらず、同じそれを受け入れるならば、それは「要請」である。
καὶ τούτῳ διαφέρει ὑπόθεσις καὶ αἴτημα·
そして、この点において仮定と要請は異なる。
ἔστι γὰρ αἴτημα τὸ ὑπεναντίον τοῦ μανθάνοντος τῇ δόξη, ἢ ὃ ἄν τις ἀποδεικτὸν ὂν λαμβάνῃ καὶ χρῆται μὴ δείξας.
なぜなら、要請とは、学習者の意見に反対するものであるか、あるいは、証明可能であるのに自分では証明せずに受け入れて用いるものであるからである。
Οἱ μὲν οὖν ὅροι οὐκ εἰσὶν ὑποθέσεις (οὐδὲν γὰρ εἶναι ἢ μὴ λέγεται), ἀλλʼ ἐν ταῖς προτάσεσιν αἱ ὑποθέσεις, τοὺς δʼ ὅρους μόνον ξυνίεσθαι δεῖ·
したがって、定義は仮定ではない（なぜなら、定義においては、何かが存在するとも存在しないとも主張されないからである）。 むしろ、仮定は命題（前提）の中に存在する。 他方、定義については、単に理解されるだけでよい。
τοῦτο δʼ οὐχ ὑπόθεσις (εἰ μὴ καὶ τὸ ἀκούειν ὑπόθεσίν τις εἶναι φήσει), ἀλλʼ ὅσων ὄντων τῷ ἐκεῖνα εἶναι γίνεται τὸ συμπέρασμα.
そして、理解することは仮定ではない（もしそう言えば、ただ聞くことさえ仮定であると言うことになるだろう）。 むしろ、［仮定とは］それらが存在することによって結論が導かれるようなものである。
(οὐδʼ ὁ γεωμέτρης φευδῆ ὑποτίθεται, ὥσπερ τινὲς ἔφασαν, λέγοντες ὡς οὐ δεῖ τῷ φεύδει χρῆσθαι, τὸν δὲ γεωμέτρην ψεύδεσθαι λέγοντα ποδιαίαν τὴν οὐ ποδιαίαν ἢ εὐθεῖαν τὴν γεγραμμέντην οὐκ εὐθεῖαν οὖσαν.
（また、幾何学者が偽なるものを仮定しているわけでもない。 それは一部の人々が、偽なるものを用いてはならないと主張し、幾何学者は1フィートではない線を1フィートと言ったり、描かれた実際には直線ではない線を直線だと言ったりして嘘をついている、と述べたようなことである。
ὁ δὲ γεωμέτρης οὐδὲν συμπεραίνεται τῷ τήνδε εἶναι γραμμὴν ἣν αὐτὸς ἔφθεγκται, ἀλλὰ τὰ διὰ τούτων δηλούμενα.
しかし、幾何学者は、自分が口にしたこの個別の線が存在することによって結論を導いているのではなく、これらを通じて示されているものによって結論を導いているのである。
) ἔτι τὸ αἴτημα καὶ ὑπόθεσις πᾶσα ἢ ὡς ὅλον ἢ ὡς ἐν μέρει, οἱ δʼ ὅροι οὐδέτερον τούτων.
）さらに、すべての要請や仮定は、全称的であるか特称的であるかのいずれかであるが、定義はそのいずれでもない。