§2.1.10Λέγω δʼ ἀρχὰς ἐν ἑκάστῳ γένει ταύτας ἃς ὅτι ἔστι μὴ ἐνδέχεται δεῖξαι.
나는 각 류에서의 원리란 그것이 존재한다는 것을 증명할 수 없는 것들을 말한다.
τί μὲν οὖν σημαίνει καὶ τὰ πρῶτα καὶ τὰ ἐκ τούτων, λαμβάνεται, ὅτι δʼ ἔστι, τὰς μὲν ἀρχὰς ἀνάγκη λαμβάνειν, τὰ δʼ ἄλλα δεικνύναι·
따라서 제일차적인 것들과 그것들로부터 유도되는 것들이 무엇을 의미하는가는 받아들여지지만, 존재한다는 것에 대해서는 원리들의 경우에는 그것을 받아들여야 하고 다른 것들의 경우에는 증명해야만 한다.
οἷον τί μονὰς ἢ τί τὸ εὐθὺ καὶ τρίγωνον, εἶναι δὲ τὴν μονάδα λαβεῖν καὶ μέγεθος, τὰ δʼ ἕτερα δεικνύναι.
예컨대 단위가 무엇인지, 혹은 직선과 삼각형이 무엇인가는 [받아들여진다]. 그러나 단위와 크기가 존재한다는 것은 받아들여지는 반면, 다른 것들은 증명된다.
Ἔστι δʼ ὧν χρῶνται ἐν ταῖς ἀποδεικτικαῖς ἐπιστήμαις τὰ μὲν ἴδια ἑκάστης ἐπιστήμης τὰ δὲ κοινά, κοινὰ δὲ κατʼ ἀναλογίαν, ἐπεὶ χρήσιμόν γε ὅσον ἐν τῷ ὑπὸ τὴν ἐπιστήμην γένει·
증명적 학문들에서 사용되는 것들 중 어떤 것들은 각 학문에 고유한 것이고 다른 것들은 공통된 것인데, 공통적이라는 것은 유비에 따른 것이다. 왜냐하면 그것은 그 학문 아래에 있는 류에서 필요한 만큼만 유용하기 때문이다.
ἴδια μὲν οἷον γραμμὴν εἶναι τοιονδὶ καὶ τὸ εὐθύ, κοινὰ δὲ οἷον τὸ ἴσα ἀπὸ ἴσων ἂν ἀφείη, ὅτι ἴσα τὰ λοιπά.
고유한 것들은 예컨대 선이 이러이러한 성질을 갖는다는 것과 직선이 그러하다는 것이며, 공통된 것들은 예컨대 같은 것들에서 같은 것들을 빼면 나머지도 같다는 것이다.
ἱκανὸν δʼ ἕκαστον τούτων ὅσον ἐν τῷ γένει·
이것들 각각은 그 류 안에 있는 한 충분하다.
ταὐτὸ γὰρ ποιήσει, κἂν μὴ κατὰ πάντων λάβῃ ἀλλʼ ἐπὶ μεγεθῶν μόνον, τῷ δʼ ἀριθμητικῷ ἐπʼ ἀριθμῶν.
왜냐하면 모든 것에 대해 그것을 취하지 않고 크기들에 대해서만 취하더라도, 혹은 산술가의 경우 수들에 대해서만 취하더라도 동일한 효과를 낼 것이기 때문이다.
Ἔστι δʼ ἴδια μὲν καὶ ἃ λαμβάνεται εἶναι, περὶ ἃ ἡ ἐπιστήμη θεωρεῖ τὰ ὑπάρχοντα καθʼ αὑτά, οἷον μονάδας ἡ ἀριθμητική, ἡ δὲ γεωμετρία σημεῖα καὶ γραμμάς.
또한 존재한다는 것이 받아들여지는 고유한 것들도 있으니, 그것들에 대해 학문이 자체적 속성들을 고찰하는 대상들이다. 예컨대 산술에서의 단위들이며, 기하학에서의 점들과 선들이다.
ταῦτα γὰρ λαμβάνουσι τὸ εἶναι καὶ τοδὶ εἶναι.
왜냐하면 이것들에 대해서는 존재한다는 것과 이러이러한 것이라는 사실이 받아들여지기 때문이다.
τὰ δὲ τούτων πάθη καθʼ αὑτά, τί μὲν σημαίνει ἕκαστον, λαμβάνουσιν, οἷον ἡ μὲν ἀριθμητικὴ τί περιττὸν ἢ ἄρτιον ἢ τετράγωνον ἢ κύβος, ἡ δὲ γεωμετρία τί τὸ ἄλογον ἢ τὸ κεκλάσθαι ἢ νεύειν, ὅτι δʼ ἔστι, δεικνύουσι διά τε τῶν κοινῶν καὶ ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων.
반면에 이것들의 자체적 속성들에 관해서는 그것들 각각이 무엇을 의미하는지만 받아들인다. 예컨대 산술에서는 홀수, 짝수, 제곱수, 세제곱수가 무엇인지이며, 기하학에서는 무리량, 꺾임, 수렴이 무엇인지이다. 그러나 그것들이 존재한다는 것은 공통된 원리들을 통해서 그리고 이미 증명된 것들로부터 증명한다.
καὶ ἡ ἀστρολογία ὡσαύτως.
천문학에서도 마찬가지이다.
πᾶσα γὰρ ἀποδεικτικὴ ἐπιστήμη περὶ τρία ἐστίν, ὅσα τε εἶναι τίθεται (ταῦτα δʼ ἐστὶ τὸ γένος, οὗ τῶν καθʼ αὑτὰ παθημάτων ἐστὶ θεωρητική), καὶ τὰ κοινὰ λεγόμενα ἀξιώματα, ἐξ ὧν πρώτων ἀποδείκνυσι, καὶ τρίτον τὰ πάθη, ὧν τί σημαίνει ἕκαστον λαμβάνει.
왜냐하면 모든 증명적 학문은 세 가지 사항에 관한 것이기 때문이다. 첫째, 존재한다고 상정되는 것들(이것은 학문이 그 자체적 속성들을 고찰하는 대상인 ‘류’이다), 둘째, 이른바 ‘공통된 공리들’인데 이것들을 일차적인 것으로 삼아 증명한다. 그리고 셋째, ‘속성들’인데 이것들에 대해서는 각각이 무엇을 의미하는지가 받아들여진다.
ἐνίας μέντοι ἐπιστήμας οὐδὲν κωλύει ἔνια τούτων παρορᾶν, οἷον τὸ γένος μὴ ὑποτίθεσθαι εἶναι, ἂν ᾖ φανερὸν ὅτι ἔστιν (οὐ γὰρ ὁμοίως δῆλον ὅτι ἀριθμὸς ἔστι καὶ ὅτι ψυχρὸν καὶ θερμόν), καὶ τὰ πάθη μὴ λαμβάνειν τί σημαίνει, ἂν ᾖ δῆλα·
그렇지만 어떤 학문들이 이것들 중 일부를 생략하는 것을 가로막는 것은 아무것도 없다. 예컨대 류가 존재한다는 것이 명백하다면 그것의 존재를 가정하지 않는 경우이다(왜냐하면 수가 존재한다는 것과 차가움과 뜨거움이 존재한다는 것은 동일하게 명백하지는 않기 때문이다). 또한 속성들이 무엇을 의미하는지 역시 그것이 명백하다면 받아들이지 않는 경우이다.
ὥσπερ οὐδὲ τὰ κοινὰ οὐ λαμβάνει τί σημαίνει τὸ ἴσα ἀπὸ ἴσων ἀφελεῖν, ὅτι γνώριμον.
이는 마치 공통된 원리들의 경우에서도, 같은 것들에서 같은 것들을 뺀다는 것이 무엇을 의미하는지를 받아들이지 않는 것과 같다. 왜냐하면 그것은 이미 잘 알려져 있기 때문이다.
ἀλλʼ οὐδὲν ἧττον τῇ γε φύσει τρία ταῦτά ἐστι, περὶ ὅ τε δείκνυσι καὶ ἃ δείκνυσι καὶ ἐξ ὧν.
그러나 그럼에도 불구하고 본성상 이 세 가지가 존재한다. 즉 그것에 대해 증명하는 대상, 증명되는 것, 그리고 그것들로부터 증명하는 출발점이다.
Οὐκ ἔστι δʼ ὑπόθεσις οὐδʼ αἴτημα, ὃ ἀνάγκη εἶναι διʼ αὑτὸ καὶ δοκεῖν ἀνάγκη.
또한 그 자체로 필연적으로 그러하고 필연적으로 그렇게 생각되는 것은 가정도 아니고 요청도 아니다.
οὐ γὰρ πρὸς τὸν ἔξω λόγον ἡ ἀπόδειξις, ἀλλὰ πρὸς τὸν ἐν τῇ ψυχῇ, ἐπεὶ οὐδὲ συλλογισμός.
왜냐하면 증명은 외적인 언사가 아니라 영혼 속의 언사를 향한 것이며, 삼단논법 역시 그러하기 때문이다.
ἀεὶ γὰρ ἔστιν ἐνστῆναι πρὸς τὸν ἔξω λόγον, ἀλλὰ πρὸς τὸν ἔσω λόγον οὐκ ἀεί.
왜냐하면 외적인 언사에 대해서는 언제나 반대할 수 있지만, 내적인 언사에 대해서는 언제나 그럴 수 있는 것은 아니기 때문이다.
ὅσα μὲν οὖν δεικτὰ ὄντα λαμβάνει αὐτὸς μὴ δείξας, ταῦτʼ, ἐὰν μὲν δοκοῦντα λαμβάνῃ τῷ μανθάνοντι, ὑποτίθεται, καὶ ἔστιν οὐχ ἀπλῶς ὑπόθεσις ἀλλὰ πρὸς ἐκεῖνον μόνον, ἂν δὲ ἢ μηδεμιᾶς ἐνούσης δόξης ἢ καὶ ἐναντίας ἐνούσης λαμβάνῃ τὸ αὐτό, αἰτεῖται.
그러므로 증명 가능한 것들임에도 자신이 증명하지 않고 받아들이는 것들 중, 만일 학습자에게 받아들여지는 것(그럴듯해 보이는 것)으로 취한다면 그것은 ‘가정’이며, 그것은 단적으로 가정이 아니라 오직 그 학습자에 대해서만 가정이다. 그러나 학습자에게 아무런 의견이 없거나 혹은 반대의 의견이 있음에도 동일한 것을 취한다면, 그것은 ‘요청’이다.
καὶ τούτῳ διαφέρει ὑπόθεσις καὶ αἴτημα·
그리고 이 점에서 가정과 요청은 구별된다.
ἔστι γὰρ αἴτημα τὸ ὑπεναντίον τοῦ μανθάνοντος τῇ δόξη, ἢ ὃ ἄν τις ἀποδεικτὸν ὂν λαμβάνῃ καὶ χρῆται μὴ δείξας.
왜냐하면 요청이란 학습자의 의견에 반하는 것이거나, 혹은 증명 가능한 것임에도 증명하지 않고 취하여 사용하는 것이기 때문이다.
Οἱ μὲν οὖν ὅροι οὐκ εἰσὶν ὑποθέσεις (οὐδὲν γὰρ εἶναι ἢ μὴ λέγεται), ἀλλʼ ἐν ταῖς προτάσεσιν αἱ ὑποθέσεις, τοὺς δʼ ὅρους μόνον ξυνίεσθαι δεῖ·
그러므로 정의는 가정이 아니다(정의에서는 아무것도 존재한다거나 존재하지 않는다고 말해지지 않기 때문이다). 오히려 가정은 명제(전제)들 안에 존재하며, 정의는 단지 이해되기만 하면 된다.
τοῦτο δʼ οὐχ ὑπόθεσις (εἰ μὴ καὶ τὸ ἀκούειν ὑπόθεσίν τις εἶναι φήσει), ἀλλʼ ὅσων ὄντων τῷ ἐκεῖνα εἶναι γίνεται τὸ συμπέρασμα.
그리고 이해하는 것은 가정이 아니다(만일 그렇지 않다면 그저 듣는 것조차 가정이라고 말해야 할 것이다). 오히려 [가정이란] 그것들이 존재함으로써 결론이 도출되는 그러한 것들이다.
(οὐδʼ ὁ γεωμέτρης φευδῆ ὑποτίθεται, ὥσπερ τινὲς ἔφασαν, λέγοντες ὡς οὐ δεῖ τῷ φεύδει χρῆσθαι, τὸν δὲ γεωμέτρην ψεύδεσθαι λέγοντα ποδιαίαν τὴν οὐ ποδιαίαν ἢ εὐθεῖαν τὴν γεγραμμέντην οὐκ εὐθεῖαν οὖσαν.
(또한 기하학자가 거짓인 것을 가정하는 것도 아니다. 이는 어떤 사람들이 거짓을 사용해서는 안 된다고 주장하면서, 기하학자가 1피트가 아닌 선을 1피트라고 말하거나 그려진 실제로는 직선이 아닌 선을 직선이라고 말함으로써 거짓말을 하고 있다고 주장한 것과 같다.
ὁ δὲ γεωμέτρης οὐδὲν συμπεραίνεται τῷ τήνδε εἶναι γραμμὴν ἣν αὐτὸς ἔφθεγκται, ἀλλὰ τὰ διὰ τούτων δηλούμενα. ) ἔτι τὸ αἴτημα καὶ ὑπόθεσις πᾶσα ἢ ὡς ὅλον ἢ ὡς ἐν μέρει, οἱ δʼ ὅροι οὐδέτερον τούτων.
그러나 기하학자는 자신이 언급한 이 구체적인 선이 존재한다는 사실로부터 결론을 내리는 것이 아니라, 이것들을 통해 지시되는 것들로부터 결론을 내리는 것이다.) 게다가 모든 요청과 가정은 전칭적이거나 특칭적이지만, 정의는 이 둘 중 어느 것도 아니다.