不可分な線の矛盾と線が点から成る説の否定｜『不可分の線について』§32-41（アリストテレス）ギリシア語原文・日本語訳

§32

Ἡ δὲ ἄτομος οὐκ ἄπειρος, ὥστε ἔξει πέρας. Διαιρετὴ ἄρα· τὸ γὰρ πέρας ἄλλο καὶ οὗ πέρας. Ἣ ἔσται¹ τις οὔτ’ ἄπειρος οὔτε πεπερασμένη γραμμὴ παρὰ ταύτας. Ἕτι οὐκ ἐν ἁπάσῃ γραμμῇ στιγμὴ ἔσται. Ἐν μὲν γὰρ τῇ ἀτόμῳ οὐκ ἔστιν· εἰ μὲν γὰρ μία μόνη, ὑπάρξει γραμμή, εἶτα στιγμή· εἰ δὲ πλείους, διαιρετὴ ἡ γραμμή.

しかし、不可分な線は無限ではないので、端点を持つ。それゆえ分割可能である。なぜなら、端点と、それによって限定されるものとは異なるからである。あるいは、これら（無限の線と有限の線）のほかに、無限でも有限でもないある種の線が存在することになる。さらに、すべての線の中に点が存在するわけではないことになる。なぜなら、不可分な線の中には点が存在しないからである。もし一つの点だけが存在するなら、まず線が存在し、次に点が存在することになる。しかし、もし複数の点が存在するなら、その線は分割可能である。

§33

Εἰ μὲν οὖν ἐν τῇ ἀτόμῳ μὴ ἐνυπάρχει στιγμή, οὐδ’ ὅλως ἐν γραμμῇ ἔσται· αἱ γὰρ ἄλλαι ἐκ τῶν ἀτόμων. Ἔτι ἢ μηθὲν τῶν στιγμῶν ἔσται μεταξὺ ἢ γραμμή· εἰ δὲ μεταξὺ γραμμή, ἐν ἀπάσαις δὲ πλείους στιγμαί, οὐκ ἔσται ἄτομος. Ἔτι οὐχ ἀπάσης ἔσται γραμμῆς τετράγωνον· ἔξει γὰρ μῆκος καὶ πλάτος, ὥστε διαιρετόν, ἐπεὶ τὸ μέν, τὸ δέ τι,² Εἰ δὲ τὸ τετράγωνον, καὶ ἡ γραμμή. Ἔτι τὸ πέρας τῆς γραμμῆς στιγμὴ ἔσται, ἀλλ' οὐ γραμμή. Πέρας μὲν γάρ, τὸ ἔσχατον δὲ ἡ ἄτομος. Εἰ γὰρ στιγμή, τὸ πέρας τῇ ἀτόμῳ ἔσται στιγμή, καὶ ἔσται γραμμὴ γραμμῆς στιγμῇ μείζων. Εἰ δ' ἐνυπάρχει τῇ ἀτόμῳ ἡ στιγμή, διὰ τὸ ταὐτὸ πέρας τῶν συνεχουσῶν γραμμῶν, ἔσται τι πέρας τῆς ἀμεροῦς, Ὄλως τε τί διοίσει στιγμὴ γραμμῆς; Οὐδὲν γὰρ ἴδιον ἔξει ἡ ἄτομος γραμμὴ παρὰ τὴν στιγμὴν πλὴν τοὔνομα. Ἕτι ὁμοίως μένει ἐπίπεδον καὶ σῶμά ἐστιν ἄτομον. Ἑνος γὰρ ὄντος ἀδιαιρέτου καὶ τἆλλα συνακολουθήσει διὰ τὸ θάτερον διῃρῆσθαι κατὰ θάτερον.

したがって、もし不可分な線の中に点が存在しないなら、線の中にはおよそ点が存在しないことになる。なぜなら、他の線は不可分な線から構成されているからである。さらに、点の間には何もないか、あるいは線が存在するかのいずれかである。しかし、もし点の間にあるのが線であり、すべての線の中に複数の点があるとするなら、不可分な線は存在しないことになる。さらに、すべての線に対して正方形が存在するわけではないことになる。なぜなら、正方形は長さと幅を持つため分割可能であり、一方はこれ（長さ）であり、他方はあれ（幅）であるからである。そして、もし正方形が分割可能なら、その線も分割可能である。さらに、線の端点は点であって、線ではない。なぜなら、端点はあるが、その極限にあるのが不可分な線だからである。もし点であるなら、不可分な線の端点は点となり、ある線は別の線よりも点一つ分だけ大きいことになる。また、もし点があらかじめ不可分な線の中に存在するなら、連続する線が同一の端点を持つという理由により、その分割不可能なものにも何らかの端点が存在することになる。そして総じて、点は線と何が異なるというのか。不可分な線は、名前を除けば、点と比べて独自の特性を何一つ持たないことになるからである。さらに同様にして、不可分な面や体も存立することになる。なぜなら、一つのものが分割不可能であれば、他方の分割に準じて一方が分割されるという関係を通じて、他のものもそれに伴って従うからである。

§36

Σῶμα οὐκ ἔσται ἀδιαίρετον διὰ τὸ εἶναι ἐν αὐτῷ βάθος καὶ πλάτος, οὐδ’ ἂν γραμμὴ εἴη ἀδιαίρετος· σῶμα μὲν γὰρ κατ’ ἐπίπεδον, ἐπίπεδον δὲ κατὰ γραμμήν.³ Ἐπεὶ δὲ οἵ τε λόγοι δι' ὦν ἐπιχειροῦσι πείθειν ἀσθενεῖς εἰσί, καὶ ψευδεῖς ἐναντίαι δόξαι πάσαι τοῖς ἰσχύουσι πρὸς πίστιν, φανερὸν ὅτι οὐκ ἄν εἴη γραμμὴ ἄτομος. Δῆλον δ' ἐκ τούτων ὅτι οὐδ’ ἂν ἐκ στιγμῶν εἴη γραμμή.

体は、その中に深さと幅があることによって不可分ではありえず、また線も不可分ではありえない。なぜなら、体は面によって、面は線によって規定されるからである。そして、彼らが説得しようとする議論は弱く、また、確信をもたらす力のあるすべての意見に対して、反対の意見は偽りであるため、不可分な線が存在しえないことは明らかである。そしてこれらのことから、線が点から構成されることもありえないことは明らかである。

§37

Σχεδὸν γὰρ οἱ πλεῖστοι τῶν λόγων οἱ αὐτοὶ ἁρμόσουσιν. Ἀνάγκη γὰρ διαιρεῖσθαι τὴν στιγμήν, ὅταν ἢ ἐκ περιττῶν τέμνηται ἴσα ἢ ἐξ ἀρτίων τὰ ἄνισα. Καὶ τὸ τῆς γραμμῆς μέρος μὴ εἶναι γραμμήν, μηδὲ τὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐπίπεδον.

なぜなら、ほとんどの同じ議論が適合するからである。すなわち、奇数個が等しく分割されるとき、あるいは偶数個が不等に分割されるとき、点は分割されざるをえなくなる。また、線の部分が線ではなくなり、面の部分が面ではなくなる。

§38

Καὶ γραμμὴ δὲ γραμμῆς στιγμῇ εἶναι μείζων· ἐξ ὦν γὰρ σύγκειται, τούτοις καὶ ὑπερέξει. Τοῦτο δ' ὅτι ἀδύνατον, ἔκ τε τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι δῆλον, καὶ ἔτι συμβήσεται τὴν στιγμὴν ἐν χρόνῳ δὴ εἶναι τὸ φερόμενον,⁴ εἴπερ τὴν μείζω μὲν ἐν πλείονι χρόνῳ, τὴν δ’ ἴσην ἐν ἴσῳ, ἡ δὲ τοῦ χρόνου ὑπεροχὴ χρόνος.

さらにまた、ある線は別の線よりも点一つ分だけ大きいことになる。なぜなら、構成されている要素によって、その分だけ超過するからである。そして、これが不可能であることは、数学における事柄から明らかであり、さらに、移動するものが点にある時間のうちにあることになってしまう。もし本当に、より大きい距離をより多くの時間で、等しい距離を等しい時間で移動し、時間の超過分が時間であるとするなら。

§39

Ἁλλ' ἴσως καὶ ὁ χρόνος ἐστὶν ἐκ τῶν νῦν, καὶ τοῦ αὐτοῦ λόγου λέγειν ἄμφω. Εἰ δὴ τὸ νῦν ἀρχὴ καὶ πέρας τοῦ χρόνου καὶ ἡ γραμμὴ στιγμῆς, μή ἐστι δὲ συνεχὴς ἡ ἀρχὴ καὶ τὸ πέρας ἀλλ' ἔχουσί τι μεταξύ, οὐκ ἂν εἴη οὔτε τὰ νῦν οὔτε στιγμαὶ ἀλλήλοις συνεχεῖς.

しかしおそらく、時間も「今」から構成されており、両者を語ることは同じ議論に属するのであろう。もし「今」が時間の始まりと終わりであり、点が線の始まりと終わりであるとするなら、そして始まりと終わりが連続しておらず、それらの間に何かを持つとすれば、「今」も点も、互いに連続することはないだろう。

§40

Ἔτι ἡ μὲν γραμμὴ μέγεθός τι, δὲ τῶν στιγμῶν σύνθεσις οὐδὲν ποιεῖ μέγεθος διὰ τὸ μηδ’ ἐπὶ πλείω τόπον ἔχειν. Ὄταν γὰρ ἐπὶ γραμμὴν γραμμὴ τεθῇ καὶ ἐφαρμόσῃ, οὐδὲν γίνεται μεῖζον τὸ πλάτος. Ἐν δὲ τῇ γραμμῇ καὶ στιγμαὶ ἐνυπάρχουσιν, οὐδ’ ἂν αἱ στιγμαὶ πλείω κατέχοιεν τόπον, ὥστε οὐκ ἂν ποιοῖεν μέγεθος.

さらに、線は何らかの大きさであるのに対し、点の結合は、より広い場所を占めることがないために、いかなる大きさも作り出さない。なぜなら、線の上に線が置かれて重ね合わされるとき、幅は少しも大きくならないからである。そして線の中には点も存在しているが、点もより広い場所を占めることはないだろうから、したがって大きさを作り出すことはないだろう。

§41

Ἔτι εἰ ἅπαντα ἅπτεται παντὸς ἢ ὅλον ὅλου ἢ τινὶ τινὸς ἢ ὅλον τινός, ἡ δὲ στιγμὴ ἀμερὴς ὅλως ἅπτοιτο. Τὸ δ’ ὅλον ὅλου ἁπτόμενον ἀνάγκη ἓν εἶναι. Εἰ γάρ τι ἐστὶν ἢ θάτερον μή ἐστιν,⁵ οὐκ ἂν ὅλον ὅλου ἅπτοιτο.

さらに、もしすべてのものが他のものに接触する際、全体が全体と接触するか、部分が部分と接触するか、あるいは全体が部分と接触するかのいずれかであり、点は全体として接触せざるをえないとすれば、全体として全体に接触するものは、一つでなければならない。なぜなら、もし何らかの部分があるか、あるいは一方が存在しないならば、全体が全体に接触することにはならないからである。

構文注5 件

970b32Ἣ ἔσται
写本により ἥ または ἤ と読まれるが、ここでは接続詞 ἤ（さもなければ、あるいは）と解釈する。直前の「不可分な線が有限であるなら分割可能である」という結論を拒む場合、無限でも有限でもない第三の線が存在することになるという不条理を導く論理構造である。
970b33ἐπεὶ τὸ μέν, τὸ δέ τι
接続詞 ἐπεί に導かれる従属節で、述語あるいは名詞 μῆκος および πλάτος が省略されている。「（正方形には長さと幅があり、）一方は［長さ］であり、他方は［幅］であるから」と補って解釈する。これにより正方形が二つの異なる次元の要素に分割可能であることを示す。
971a1σῶμα μὲν γὰρ κατ’ ἐπίπεδον, ἐπίπεδον δὲ κατὰ γραμμήν
前置詞 κατά の後ろに動詞または分詞の省略（ὁρίζεται「規定される」または διαιρεῖται「分割される」など）を補って理解する。幾何学的対象の次元間の画定関係、すなわち「立体は面によって［規定され］、面は線によって［規定される］」という構造を示している。
971a1τὴν στιγμὴν ἐν χρόνῳ δὴ εἶναι τὸ φερόμενον
非人称動詞 συμβήσεται の主語となる対格不定詞構文で、その意味上の主語は τὸ φερόμενον （「移動するもの」）である。「移動するものが、ある時間において点にあることになる」という、運動の不連続性（瞬間において静止すること）を導く背理法的な結論を示す。
971a1Εἰ γάρ τι ἐστὶν ἢ θάτερον μή ἐστιν
「もし何か（部分）があるか、あるいは二者のうち一方が存在しないならば」という条件節。全体同士が完全に重ね合わさって接触する（すなわち合一する）ためには、部分が存在せず、かつ両者がともに存在していなければならない、という論理的要件を説明している。

翻訳：Gemini 3.5 Flash（2026-05-22 公開）・修正履歴（2 件・最終 2026-09-22）

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2026-09-21 AI校閲 — 原文 1 件

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