不可分な線に関する諸論拠への詳細な反駁｜『不可分の線について』§11-21（アリストテレス）ギリシア語原文・日本語訳

§11

Ἦι δὲ γραμμή,¹ διαίρεσις κατὰ στιγμήν, καὶ ὁμοίως καθ’ ὁποιανοῦν ἀπείρους ἂν ἔχοι διαιρέσεις ἅπασα ἡ μὴ ἄτομος, Ἔνιαι δὲ τούτων εἰς μακρὰ καὶ ἄπειροι οἱ λόγοι. Πᾶσαν δὲ τμηθῆναι τὸν ἐπιταχθέντα δυνατὸν τὴν μὴ ἄτομον. Ἔτι εἰ τὸ μέγα ἐκ μικρῶν τινῶν σύγκειται, ἢ οὐθὲν ἔσται τὸ μέγα, ἢ τὸ πεπερασμένας ἔχον διαιρέσεις οὐ μέγα ἔσται.

しかし、線である限りにおいて、分割は点によるものであり、同様に、いかなる点による分割においても、不可分でないすべての線は無限の分割を持つことになる。そして、これらのうちのいくつかは長く、その比は無限である。また、不可分でないすべての線は、命じられた任意の比で分割されることが可能である。さらに、もし大きいものが何か小さいものから構成されているなら、大きいものは無であるか、あるいは有限の分割を持つものは大きくないことになるだろう。

§12

Τὸ γὰρ ὅλον τὰς τῶν μερῶν ἔχει διαιρέσεις ὁμοίως. Εὕλογον δ' ἐστὶ τό τε σμικρὸν πεπερασμένας ἔχειν διαιρέσεις καὶ τὸ μέγα ἀπείρους, οὕτως ἀξιοῦσιν. Ὤστε φανερὸν ὅτι οὐκ ἐν τούτῳ λέγοιτο τὸ μέγα καὶ τὸ μικρόν, τῷ πεπερασμένας ἔχειν καὶ ἀπείρους διαιρέσεις.

というのも、全体は部分の分割を同様に持っているからである。また、小さいものが有限の分割を持ち、大きいものが無限の分割を持つというのは妥当であり、彼らもそう主張している。したがって、大きいことと小さいことが、有限の分割を持つことと無限の分割を持つことによって言われるのではないということは明らかである。

§13

Εἰ δ’ ὅτι καὶ ἐν ἀριθμοῖς τὸ ὀλίγον πεπερασμένας ἔχει διαιρέσεις, καὶ ἐν γραμμαῖς τις ἀξιοίη τὸ μικρόν, εὔηθες. Ἔκεῖ μὲν γὰρ ἐξ ἀμερῶν τε ἡ γένεσις, καὶ ἔστι τι ὃ τῶν ἀριθμῶν ἀρχή ἐστι, καὶ πᾶς ὁ μὴ ἄπειρος πεπερασμένας ἔχει διαιρέσεις· ἐπὶ δὲ τῶν μεγεθῶν οὐχ ὁμοίως.

しかし、数において「少ない」が有限の分割を持つのだから、線においても「小さい」がそうであると誰かが主張するなら、それは愚かなことである。なぜなら、数においてはその生成が不可分なものからであり、数にはその始まりとなる何かがあり、無限でないすべての数は有限の分割を持つからである。これに対して、大きさにおいては同様ではない。

§14

Οἱ δ' ἐν τοῖς εἴδεσι τὰς ἀτόμους κατασκευάζοντες τοὔλαττον ἴσως ἀξίωμα λαμβάνουσι τοῦ προκειμένου,² τὸ τιθέναι τούτων ἰδέας· καὶ τρόπον τινὰ ταῦτ’ ἀναιροῦσι δι' ὦν δεικνύουσιν. Καὶ γὰρ διὰ τούτων τῶν λόγων ἀναιρεῖται τὰ εἴδη. Πάλιν δὲ τῶν σωματικῶν στοιχείων εὔηθες τὸ ἀμερῆ ἀξιοῦν.

また、形相において不可分なものを構成しようとする人々は、提起された問題よりも、それらのイデアを措定することという、おそらくはより確実性の低い前提を受け入れている。そして彼らは、自分たちが論証に用いるものによって、ある意味でこれらを無効にしている。なぜなら、まさにこれらの議論によって、形相が否定されるからである。他方で、物体の元素が不可分であると主張することもまた愚かである。

§15

Εἰ γὰρ αὗ καὶ ἀποφαίνονταί τινες οὕτως, ἀλλὰ πρός γε τὴν ὑποκειμένην σκέψιν αὐτὸ τὸ ἐξ ἀρχῆς λαμβάνουσιν. Μᾶλλον δὲ ὅσῳ μᾶλλον τὸ ἐξ ἀρχῆς δόξειαν ἀναλαμβάνεσθαι, τόσῳ μᾶλλον δοκεῖ διαιρετὸν εἶναι σῶμα καὶ μῆκος καὶ τοῖς ὄγκοις καὶ τοῖς διαστήμασιν.

というのも、たとえ一部の人々がそのように主張するとしても、彼らは提起された探究に対して、まさに端緒にあることを前提としているからである。むしろ、端緒にあることが引き受けられていると見なされれば見なされるほど、それだけいっそう、物体や長さは、その体積においても間隔においても分割可能であると思われるのである。

§16

Ὁ δὲ τοῦ Ζήνωνος λόγος οὐ συμβιβάζει οὐ συμπεπερασμένῳ χρόνῳ τῶν ἀπείρων ἅπτεσθαι τὸ φερόμενον ὡδὶ τὸν αὐτὸν τρόπον. Ὁ γὰρ χρόνος καὶ τὸ μῆκος ἄπειρον καὶ πεπερασμένον λέγεται, καὶ τόσας ἔχει διαιρέσεις.

また、ゼノンの議論は、移動するものが有限の時間の中でこのようにして無限のものに触れるということを、同じ方法で証明するものではない。なぜなら、時間も長さも「無限」および「有限」と言われ、同じだけの分割を持っているからである。

§17

Οὐδὲ δὴ τὸ καθ’ ἕκαστον ἅπτεσθαι τῶν ἀπείρων τὴν διάνοιαν οὐκ ἔστιν ἀριθμεῖν, εἰ ἄρα τις καὶ νοήσειεν οὕτως ἐφάπτεσθαι τῶν ἀπείρων τὴν διάνοιαν. Ὄπερ ἴσως ἀδύνατον· οὐ γὰρ ἐν συνεχέσι καὶ ὑποκειμένοις ἡ τῆς διανοίας κίνησις, ὥσπερ ἡ τῶν φερομένων.

また、たとえ思考がそのように無限のものに触れると想定する人がいるとしても、思考が無限のものに一つ一つ触れることは数えることではない。そしてそれはおそらく不可能なことである。なぜなら、思考の運動は、移動するものの運動のように、連続的で下底にあるものの中において行われるのではないからである。

§18

Εἰ δ’ οὖν καὶ ἑγχωρεῖ κινεῖσθαι οὕτως, οὐκ ἔστι τοῦτο ἀριθμεῖν· τὸ γὰρ ἀριθμεῖν ἐστὶ τὸ μετὰ ἐπιστάσεως.³ Ἀλλ’ ἄτοπον ἴσως τὸ μὴ δυναμένους λύειν τὸν λόγον δουλεύειν τῇ ἀσθενείᾳ, καὶ προσεξαπατᾶν ἑαυτοὺς μείζους ἀπάτας, βοηθοῦντας τῇ ἀδυναμίᾳ.

しかし、仮にそのように運動することが可能であるとしても、これは数えることではない。なぜなら、数えることとは、注意を伴うものだからである。しかし、議論を解決することができないために自らの弱さの奴隷となり、自らの無力さを補うために、さらに大きな欺きによって自分自身をだますということは、おそらく不条理なことである。

§19

Τὸ δ' ἐπὶ τῶν συμμέτρων γραμμῶν, ὡς ὅτι αἱ πᾶσαί τῷ αὐτῷ τινὶ καὶ ἑνὶ μετροῦνται, κομιδῇ σοφιστικὸν καὶ ἥκιστα κατὰ τὴν ὑπόθεσιν τὴν ἐν τοῖς μαθήμασιν· οὔτε γὰρ ὑποτίθενται οὕτως, οὔτε χρήσιμον αὐτοῖς ἐστίν. Ἄμα δὲ καὶ ἐναντίον πᾶσαν μὲν γραμμὴν σύμμετρον γίνεσθαι, πασῶν δὲ τῶν συμμέτρων κοινὸν μέτρον εἶναι ἀξιοῦν.

また、通約可能な線について、すべての線が何らかの同一かつ一つのものによって測られるという議論は、完全にソフィスト的であり、数学における前提に全く適合しない。なぜなら、数学者たちはそのように仮定しないし、それは彼らにとって有用でもないからである。同時に、すべての線が通約可能になるということと、すべての通約可能な線に共通の尺度があると主張することは矛盾している。

§20

Ὤστε γελοῖον τὸ κατὰ τὰς ἐκείνων δόξας καὶ ἐξ ὦν αὐτοὶ λέγουσι φάσκοντες δείξειν, εἰς ἐριστικὸν ἅμα καὶ σοφιστικὸν ἐκκλίνειν λόγον, καὶ ταῦθ’ οὕτως ἀσθενῆ. Πολλαχῇ γὰρ ἀσθενής ἐστι καὶ πάντα τρόπον διαφυγεῖν καὶ τὰ παράδοξα καὶ τοὺς ἐλέγχους.

それゆえ、彼らの意見に従い、彼ら自身の言うことから証明すると主張しながら、同時に争論的かつソフィスト的な議論へと逸れていくことは滑稽であり、しかもそれはこれほどまでに薄弱である。というのも、その議論は多くの点で薄弱であり、あらゆる方法で、逆説や論駁を回避しようとするからである。

§21

Ἔτι δ' ἄτοπον ἄν εἴη διὰ μὲν τὸν Ζήνωνος λόγον παραπεπεῖσθαί τινας ἀτόμους ποιεῖν γραμμάς, τῷ μὴ ἔχειν ἀντειπεῖν, διὰ δὲ τῆς εὐθείας εἰς τὴν ἡμιόλιον κίνησιν, ἢν ἀναγκαῖον εὐθύς τέμνειν ἀπείρων μεταξὺ πιπτουσῶν περιφερειῶν καὶ διαστημάτων ὄντων, καὶ πάλιν διὰ τὴν τῶν ἴσων κύκλων εὔπειστον, ὅτι ἀνάγκη ἂν ὅτι κινηθῇ, μεῖζον ἡμικύκλιον κινεῖσθαι, καὶ ὅσα ἄλλα τοιαῦτα τεθεώρηται περὶ τὰς γραμμὰς μὴ οἶόν τε ἐνδέχεσθαι τοιαύτην δή τινα γενέσθαι κίνησιν ὥστ’ ἐφ’ ἑκάστην τῶν μεταξὺ μὴ πίπτειν πρότερον· πολὺ γὰρ ταῦτα μᾶλλον ὁμολογούμενα ἐκείνων.⁴

さらに、一方ではゼノンの議論に対して反論できないという理由で、ある人々が不可分な線を措定するよう説得されながら、他方では、直線の1.5倍の運動によって――その運動においては、無限の円周と間隔が間に落ちるために、ただちに切断することが必然となるが――、また、等しい円に関する説得力ある議論によって――すなわち、動くものは何であれ、より大きな半円を動くことが必然であるということによって――、また線に関して観察されている他のすべての同様の事実によって、その中間のそれぞれに先に達することなしに、そのような運動が起こることは不可能であるという幾何学的事実を認めないのは不条理であろう。なぜなら、これらのことは、あちらのことよりも、はるかに強く合意されているからである。

構文注4 件

969a11Ἦι δὲ γραμμή
関係副詞 ᾗ（ᾗ δὲ γραμμή）は「しかし、線である限りにおいて」という制限・観点の意味を表す。ここでは、主語 ἅπασα ἡ μὴ ἄτομος （不可分でないすべての線）が持つ「線としての性質」に基づく議論を先導している。
969a14τοὔλαττον ἴσως ἀξίωμα λαμβάνουσι τοῦ προκειμένου
比較級 τοὔλαττον（τὸ ἔλαττον）は「より低い、より劣った」を意味し、ここでは「提起されている問題（不可分な線の存否、τοῦ προκειμένου）よりも、さらに確実性が低く同意されにくい前提（イデアの措定）を受け入れている」という批判的な文脈で用いられている。
969b1τὸ γὰρ ἀριθμεῖν ἐστὶ τὸ μετὰ ἐπιστάσεως
名詞 ἐπίστασις は「静止、立ち止まり」あるいは「注意、集中」を意味する。ここでは、思考が一瞬一瞬立ち止まる（あるいは注意を向ける）ことで初めて「数を数える」ことが成立するという、離散的な数え上げのプロセスを指摘しており、連続的な思考の運動との対比をなしている。
969b1Ἔτι δ' ἄτοπον ἂν εἴη... μὴ οἶόν τε ἐνδέχεσθαι... πολὺ γὰρ ταῦτα μᾶλλον ὁμολογούμενα ἐκείνων.
非常に長く複雑な Hyperbaton（倒置）構造である。主節の述語 ἄτοπον ἂν εἴη （不条理であろう）に対し、[1] μέν 節の不定詞句 παραπεπεῖσθαί τινας... （ある人々が説得されて〜すること）と、[2] δέ 節の否定を伴う不定詞句 μὴ οἶόν τε [εἶναι] ἐνδέχεσθαι... （〜のような運動が不可能であることを[認めないのは]）が対比的に並列されている。「一方ではゼノンのパラドックスに説得されて不可分な線を措定しながら、他方では、より強固な幾何学的合意に基づけば、中間に落ちる無限の点を通過しない運動は不可能である（＝不可分な線は存在しない）という自明な事実を拒むのは不条理である」という議論の骨格を示す。

翻訳：Gemini 3.5 Flash（2026-05-22 公開）・修正履歴（3 件・最終 2026-09-22）

2026-09-22 AI校閲 — 原文 1 件
2026-09-21 AI校閲 — 原文 2 件

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