§3#2ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν Αἰγόκερων ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσοις χρόνοις ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλʼ ἐν πλείονι ἡ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτεροσοῦν τῶν συναφῶν.
마찬가지로 염소자리 다음의 반원에 대해서도 같은 호들은 같은 시간 동안 가시 반구를 벗어나지 않고, 하지권에 더 가까운 것이 더 먼 것보다 더 긴 시간 동안 벗어나며, 결합점들 중 어느 하나로부터 등거리인 것들은 같은 시간 동안 [벗어난다].
ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ∠, καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ Α∠, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΒΕΓ, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΒΕ περιφέρεια ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν Αἰγόκερων ἡμικυκλίου, ἡ δὲ ΕΓ ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον, καὶ ἔστωσαν ἀνατολικὰ μὲν τὰ ∠ μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ Β, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΖΗ, ΗΘ. λέγω, ὅτι ἡ ΖΗ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΘ.
γεγράφθωσαν παράλληλοι κύκλοι οἱ ΚΛ, ΜΝ, ΞΟ, καθʼ ὧν φέρεται τὰ Ζ, Η, Θ σημεῖα·
우주에서 지평선을 ΑΒΓ∠라 하고, 하지권을 Α∠이라 하며, 황도대 원은 위치 ΒΕΓ를 가진다고 하고, 호 ΒΕ는 염소자리 다음의 반원 위에 있고 [호] ΕΓ는 게자리 다음의 [반원] 위에 있다고 하며, 동쪽 부분을 ∠, 서쪽 부분을 Β라 하고, 같은 호들 ΖΗ, ΗΘ가 잘려 있다고 하자. 나는 ΖΗ가 ΗΘ보다 더 긴 시간 동안 가시 반구를 벗어난다고 주장한다. 평행원들 ΚΛ, ΜΝ, ΞΟ가 그려져 있다고 하고, 이들 위에 점 Ζ, Η, Θ가 움직여 간다고 하자.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ περιφέρεια τῇ ΠΡ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΡΣ ἀλλ᾿ ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ ἔστιν ἴση·
그러므로 호 ΖΗ는 호 ΠΡ와 같고, [호] ΗΘ는 [호] ΡΣ와 같다. 그런데 ΖΗ는 ΗΘ와 같다.
καὶ ἡ Π ἄρα τῇ ΡΣ ἐστιν ἴση.
그러므로 [호] Π 역시 ΡΣ와 같다.
καὶ ἐπεὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΠΡ δύνει, ἡ ΖΗ ἀνατέλλει, κοινὸς προσκείσθω ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Π σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἴσος ὢν τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται.
그리고 ΠΡ가 질 때 ΖΗ가 뜨는 시간 동안, 공통의 시간으로서 점 Π가 호 ΚΛ을 지나가는 시간이 더해져 있다고 하자. 이는 점 Ζ가 호 ΚΛ을 지나가는 시간과 같다.
ὁ ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Π σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΠΡ δύνει, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ ἡ ΖΗ περιφέρεια ἀνατέλλει καὶ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται.
그러므로 점 Π가 호 ΚΛ을 지나가고 ΠΡ가 지는 시간은, 호 ΖΗ가 뜨고 점 Ζ가 호 ΚΛ을 지나가는 시간과 같다.
ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Π σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ Π Ρ δύνει, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΠΡ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον·
그런데 점 Π가 호 ΚΛ을 지나가고 ΠΡ 가 지는 시간은 ΠΡ가 가시 반구를 벗어나는 시간이다.
ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΖΗ ἀνατέλλει καὶ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΖΗ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον·
또한 호 ΖΗ가 뜨고 점 Ζ가 호 ΚΛ을 지나가는 시간은 ΖΗ가 가시 반구를 벗어나는 시간이다.
αἱ ΖΗ, ΠΡ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον.
그러므로 ΖΗ, ΠΡ는 같은 시간 동안 가시 반구를 벗어난다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ΗΘ, ΡΣ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον.
실로 마찬가지로 ΗΘ, ΡΣ 역시 같은 시간 동안 가시 반구를 벗어남을 보일 것이다.
ἡ δὲ ΠP τῆς ΡΣ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, καὶ ἀπεδείχθησαν αἱ ΖΗ, Π Ρ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσαι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον·
그런데 ΠΡ는 ΡΣ보다 더 긴 시간 동안 가시 반구를 벗어나고, ΖΗ, ΠΡ는 같은 시간 동안 가시 반구를 벗어난다는 것이 증명되었다.
καὶ ἡ ΖΗ ἄρα ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΘ.
τοῦ ἄρα τῶν ζῳδίων κύκλου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ᾿ ἐν πλείονι ἡ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον.
그러므로 ΖΗ 역시 ΗΘ보다 더 긴 시간 동안 가시 반구를 벗어난다. 그러므로 황도대 원의 같은 호들은 같은 시간 동안 가시 반구를 벗어나지 않고, 하지권에 더 가까운 것이 더 먼 것보다 더 긴 시간 동안 벗어난다.
καὶ συναποδέδεικται, ὅτι αἰ ἴσον ἀπέχουσαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσιν.
그리고 이와 함께, 등거리인 것들은 같은 시간 동안 벗어난다는 것도 증명되었다.