§4## 4.
## 4.
Ad prop. 15.
명제 15에 대하여.
Ἄλλως τὸ αὐτό.
다른 증명.
Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου τῶν ἴσων τε καὶ ἀπεναντίον περιφερειῶν ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ μία ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανές, καὶ πάλιν, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ μία τὸ ἀφανές, καὶ ἡ ἑτέρα τὸ φανερόν.
황도대 원의 같고 반대편에 있는 호들에 대하여, 한 호가 가시 반구를 벗어나는 시간 동안 다른 호는 불가시 반구를 벗어나고, 역으로 한 호가 불가시 반구를 벗어나는 시간 동안 다른 호 역시 가시 반구를 벗어난다.
ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΒΑ, χειμερινὸς δὲ ὁ Γ∠, ὁ ζῳδιακὸς δὲ κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΕΓΖ, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ ΕΗ, ΖΘ·
지평선 원을 ΑΒΓ∠라 하고, 하지권을 ΒΑ, 동지권을 Γ∠이라 하며, 황도대 원은 위치 ΑΕΓΖ를 가진다고 하고, 같고 반대편에 있는 호들 ΕΗ, ΖΘ가 잘려 있다고 하자.
λέγω, ὅτι, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΖΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ΕΗ τὸ ἀφανές.
나는 ΖΘ가 가시 반구를 벗어나는 시간 동안 ΕΗ가 불가시 반구를 벗어난다고 주장한다.
ἔστωσαν καθʼ ὧν φέρεται τὰ Θ, Ζ, Ε, σημεῖα παρἀλληλοι κύκλοι οἱ ΚΘΛ, Μ Ν Ξ Ζ, Ε Θ Π Ρ, Σ ΗΤ. καὶ μετακεκινήσθω ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος καὶ ὅτε μὲν θέσιν ἐχέτω τὴν ΥΛΦ, ὅτε δὲ τὴν ΧΣΨ καὶ ἐπεὶ αἱ ΖΘ, Ε περιφέρειαι ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσίν, ἴσοι εἰσὶ καὶ οἱ ΜΝΣ, ΟΠΡ κύκλοι, τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις·
점 Θ, Ζ, E가 움직여 가는 평행 원들을 ΚΘΛ, ΜΝΞΖ, ΕΘΠΡ, ΣΗΤ라 하자. 그리고 황도대 원이 이동하여, 어떤 때는 위치 ΥΛΦ를 가지고 어떤 때는 위치 ΧΣΨ를 가진다고 하자. 그리고 호 ΖΘ, ΕΗ는 같고 반대편에 있으므로 원 ΜΝΣ와 ΟΠΡ 역시 같고, 같고 평행한 원들의 엇갈린 활꼴들은 서로 같다.
τὸ ἄρα ὑπὲρ γῆν τοῦ ΜΝΞΖ κύκλου τὸ ΜΝΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ γῆν τοῦ ΟΕΡΠ κύκλου τῷ ΟΠΡ πάλιν ἐπεὶ αἱ ΖΘ, ΕΗ ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσίν, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΖΘ ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ ΕΗ δύνει.
그러므로 원 ΜΝΞΖ의 지상에 있는 [부분인] ΜΝΞ는 원 ΟΕΡΠ의 지하에 있는 [부분인] ΟΠΡ와 같다. 다시, 호 ΖΘ, ΕΗ는 같고 반대편에 있으므로, ΖΘ가 뜨는 시간 동안 ΕΗ는 진다.
ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΖΘ ἀνατέλλει, τουτέστιν ἡ ΥΛ, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Υ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ τὴν ΥΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ξ παραγίγνται, ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΕΗ δύνει, τουτέστιν ἡ ΧΣ, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται·
그런데 ΖΘ가 뜨는 시간, 즉 ΥΛ[이 뜨는 시간]은, 점 Υ가 Υ에서 출발하여 호 ΥΞ를 지나 Ξ에 도달하는 시간이다. 또한 ΕΗ가 지는 시간, 즉 ΧΣ[가 지는 시간]은, 점 Χ가 Χ에서 출발하여 호 ΧΟ를 지나 Ο에 도달하는 시간이다.
ὁ ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ τὸ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν ΥΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ παραγίγνεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟ περιφέρειαν δεελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται.
그러므로 점 Υ가 Υ에서 출발하여 호 ΥΞ를 지나 Ξ에 도달하는 시간은, 점 Χ가 Χ에서 출발하여 호 ΧΟ를 지나 Ο에 도달하는 시간과 같다.
κοινὸς προσκείσθω ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΝΜ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ἴσος ὢν τῷ χρόνῳ, ἐν τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρπαραγίγνεται·
공통의 시간으로서, 점 Υ가 Ξ에서 출발하여 호 ΞΝΜ을 지나 Μ에 도달하는 시간이 더해져 있다고 하자. 이는 점 Χ가 Ο에서 출발하여 호 ΟΠΡ를 지나 Ρ에 도달하는 시간과 같다.
ὁ ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν Υ Ξ Ν Μ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται.
그러므로 점 Υ가 Υ에서 출발하여 호 ΥΞΝΜ을 지나 Μ에 도달하는 시간은, 점 Χ가 Χ에서 출발하여 호 ΧΟΠΡ를 지나 Ρ에 도달하는 시간과 같다.
ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν Υ Ξ Ν Μ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΥΛ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, τουτέστιν ἡ Θ Ζ ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται, ται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐνᾧ ἡ ΧΣ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, τουτέστιν ἡ ΕΗ ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΘΖ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ ἡ ΕΗ τὸ ἀφανές.
그런데 점 Υ가 Υ에서 출발하여 호 ΥΞΝΜ을 지나 Μ에 도달하는 시간은, ΥΛ 즉 ΘΖ가 가시 반구를 벗어나는 시간이다. 또한 점 Χ가 Χ에서 출발하여 호 ΧΟΠΡ를 지나 Ρ에 도달하는 시간은, ΧΣ 즉 ΕΗ가 불가시 반구를 벗어나는 시간이다. 그러므로 ΘΖ가 가시 반구를 벗어나는 시간 동안 ΕΗ는 불가시 반구를 벗어난다.