§2#2καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος ὁ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τινος κύκλου τῶν παραλλήλων τοῦ τυ Φ καὶ τὸν ΑΒΓ τέμνουσιν οἱ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΕΖ, ΑΓ, ὧν ὁ μὲν ΕΖ μέγιστος τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΑΓ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, καὶ ἀπειλημμέναι εἴσὶ περιφέρειαι αἱ Α Η, Η Θ, ΘΚ ἐπὶ τῆς τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφερείας ἴσαι ἐξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, καὶ διὰ τῶν Η, Θ σημείων γεγραμμένοι εἰσὶ μέγιστοι κύκλοι οἱ υ ΗΧ, ΦΘΨ ἐφαπτόμενοι τοῦ τυΦ κύκλου, μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΕΧ περιφέρεια τῆς Χ Ψ περιφερείας, ἡ δὲ Χ Ψ τῆς Ψ Κ ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Χ τὴν ΧΕ διαπορεύεται ἤπερ τὸ Ψ τήν Φ Σʼ καὶ τὸ Ψ τήν Ψ Χ ἐν πλείονι χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ τὸ Κ τὴν Κ Ψ ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ τὴν ΧΕ διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ τὴν ΗΝ περιφέρειαν διαπορεύεται, τουτέστιν ἐν ᾧ δύνει ἡ Α περιφέρεια·
그리고 구에서 대원 ΑΒΓ가 평행원들 중 하나(즉 τυ Φ)에 접하고, 대원 ΕΖ, ΑΓ가 ΑΒΓ와 교차하며, 이들 중 ΕΖ는 평행원들 중 가장 큰 것이고, ΑΓ는 평행원들에 대해 기울어져 있으며, 기울어진 원의 원둘레 위에, 평행원들 중 가장 큰 것의 같은 쪽을 향해 차례로 같은 호 ΑΗ, ΗΘ, ΘΚ가 잘려 있고, 점 Η, Θ를 지나 원 τυ Φ에 접하는 대원 υ ΗΧ, ΦΘΨ가 그려져 있으므로, 호 ΕΧ는 호 ΧΨ보다 크고, [호] ΧΨ는 ΨΚ보다 크다. 그러므로 더 긴 시간 동안 [점] Χ가 ΧΕ를 지나가며, 이는 [점] Ψ가 ΦΣ를 [지나가는 시간보다 길고], [점] Ψ가 ΨΧ를 지나가는 시간은 [점] Κ가 ΚΨ를 지나가는 시간보다 길다. 그런데 [점]이 ΧΕ를 지나가는 시간은 [점]이 호 ΗΝ을 지나가는 시간이며, 즉 호 Α[Η]가 지는 시간이다.
ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Ψ τὴν ΨΧ διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΘΩ διαπορεύεται, τουτέστιν ὁ χρόνος, ἐν ᾧ δύνει ἡ ΘΗ περιφέρεια·
또한 Ψ가 ΨΧ를 지나가는 시간은 Θ가 ΘΩ를 지나가는 시간이며, 즉 호 ΘΗ가 지는 시간이다.
ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Κ τὴν Κ διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ δύνει ἡ ΚΘ περιφέρεια·
또한 Κ가 Κ[Ψ]를 지나가는 시간은 호 ΚΘ가 지는 시간이다.
ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ δύνει ἡ μὲν ΑΗ περιφέρεια τῆς ΗΘ περιφερείας. ἡ δὲ ΗΘ τῆς ΘΚ.
λέγω δή, ὅτι ἐν ἴσοις χρόνοις αἰ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ δύνουσιν. γενομένου γὰρ δὴ τοῦ Κ σημείου ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον, ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν Ϛ Ελ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ϛ Ε περιφέρεια τῇ Ε λ περιφερείᾳ καί ἐστι μέγιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΕΖ, ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ϛ ΘΠ κύκλος τῷ ΡΛΣ κύκλῳ· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΟΕ περνφέρεια τῇ ΕΡ περιφερείᾳ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ϛ Ε τῇ Ε λ ἴση ἄρα καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ϛ ἐπὶ τὸ Ο τῇ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὸ λ. καί εἴσιν ἴσοι κύκλοι οἱ Ϛ ΘΠ, ΡΛΣ ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ Ϛ Ο περιφέρεια τῇ Ρ λ περιφερείᾳ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ λ σημεῖον τὴν λ Ρ διαπορεύεται καὶ τὸ Ο τὴν Ο Ϛ. ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ λ τὴν λ Ρ διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ δύνει ἡ λ Ε περιφέρεια, ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Ο τὴν Ο Ϛ διαπορεύεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν δύνει ἡ Ε Ϛ περιφέρεια· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ δύνουσιν αἰ λ Ε, Ε Ϛ περιφέρειαι. ἴση δὲ ἡ μὲν λ Ε τῇ Λ Κ, ἡ δὲ Ε Ϛ τῇ ΚΘ αἰ ΛΚ, ΚΘ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν. ὁμοίως δὲ δείξομεν, ὅτι καὶ αἰ ΜΚ, ΚΗ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν, ὧν αἰ ΛΚ, ΚΘ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν· λοιπαὶ ἄρα αἱ ΜΛ, ΘΗ ἐν ἴσῳ χρόνω δύνουσιν.
그러므로 호 ΑΗ는 [호] ΗΘ보다 더 긴 시간 동안 지고, [호] ΗΘ는 ΘΚ보다 더 긴 [시간 동안 진다].
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ΜΓ, ΑΗ περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν.
그러므로 나는 주장한다. 적도로부터 같은 거리만큼 떨어져 있는 [호]들은 같은 시간 동안 진다고. 실제로 점 Κ가 점 Ε 위에 오게 되었을 때, 황도대의 원이 ϚΕλ의 위치를 갖도록 하자. 그리고 호 ϚΕ가 호 Ελ와 같고, ΕΖ가 평행원들 중 가장 큰 것이므로, 따라서 원 ϚΘΠ는 원 ΡΛΣ와 같다. 따라서 호 ΟΕ 역시 호 ΕΡ와 같다. 그리고 [호] ϚΕ도 [호] Ελ와 [같다]. 그러므로 Ϛ로부터 Ο까지의 [호] 역시 Ρ로부터 λ까지의 [호]와 같다. 그리고 원 ϚΘΠ, ΡΛΣ가 같으므로, 따라서 호 ϚΟ는 호 Ρλ와 닮음이다. 그러므로 같은 시간 동안 점 λ는 λΡ를 지나가고, Ο는 ΟϚ를 지나간다. 그런데 λ가 λΡ를 지나가는 시간은 호 λΕ가 지는 시간이고, Ο가 ΟϚ를 지나가는 시간은 호 ΕϚ가 지는 시간과 같다. 그러므로 같은 시간 동안 호 λΕ, ΕϚ가 진다. 그런데 [호] λΕ는 ΛΚ와 같고, [호] ΕϚ는 ΚΘ와 [같다]. 따라서 [호] ΛΚ, ΚΘ는 같은 시간 동안 진다. 마찬가지로 ΜΚ, ΚΗ 역시 같은 시간 동안 지는 것을 보일 터인데, 이들 중 ΛΚ, ΚΘ가 같은 시간 동안 지므로, 따라서 남은 [호] ΜΛ, ΘΗ는 같은 시간 동안 진다. 마찬가지로 호 ΜΓ, ΑΗ 역시 같은 시간 동안 지는 것을 보일 것이다.
καὶ ἐπεὶ ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει ἡ ΑΗ περιφέρεια ἤπερ ἡ ΗΘ καὶ ἡ ΗΘ ἤπερ ἡ ΘΚ, ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ δύνει ἡ Γ Μ περιφέρεια ἤπερ ἡ ΜΛ, καὶ ἡ ΜΛ ἤπερ ἡ ΛΚ. ἐν πλείστῳ ἄρα χρόνῳ δύνουσιν αἱ ΑΗ, ΜΓ περιφέρειαι, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ΗΘ, ΛΜ ἐν ἐλαχίστῳ δὲ αἱ Θ Κ, ΛΚ, ἐν ἴσῳ δὲ αἰ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν.
그리고 호 ΑΗ는 ΗΘ보다 더 긴 시간 동안 지고, ΗΘ가 ΘΚ보다 [더 긴 시간 동안 지므로], 따라서 호 ΓΜ은 ΜΛ보다 더 긴 시간 동안 지고, ΜΛ은 ΛΚ보다 [더 긴 시간 동안 진다]. 그러므로 가장 긴 시간 동안 호 ΑΗ, ΜΓ가 지고, 더 짧은 [시간] 동안 ΗΘ, ΛΜ이, 가장 짧은 [시간] 동안 ΘΚ, ΛΚ가 [지며], 적도로부터 같은 거리만큼 떨어져 있는 [호]들은 같은 시간 동안 지고 또한 뜨는 것이다.