§9.prop.13ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα πρῶτος ᾖ, ὁ μέγιστος ὑπʼ οὐδενὸς μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.
만일 단위로부터 임의의 개수의 수들이 계속하여 비례하고, 단위 다음의 수가 소수라면, 가장 큰 수는 비례하는 수들 속에 존재하는 수들을 제외하고는 어떤 수에 의해서도 측정되지 않을 것이다.
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτος ἔστω·
단위로부터 임의의 개수의 계속하여 비례하는 수들을 Α, Β, Γ, Δ라고 하고, 단위 다음의 수 Α를 소수라고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ μέγιστος αὐτῶν ὁ Δ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ.
εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείσθω ὑπὸ τοῦ Ε, καὶ ὁ Ε μηδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἔστω ὁ αὐτός.
나는 그들 중 가장 큰 수인 Δ가 Α, Β, Γ 이외의 다른 어떤 수에 의해서도 측정되지 않을 것이라고 주장한다. 왜냐하면, 가능하다면, 그것이 Ε에 의해 측정된다고 하고, Ε는 Α, Β, Γ 중 어느 것과도 같지 않다고 하자.
φανερὸν δή, ὅτι ὁ Ε πρῶτος οὔκ ἐστιν.
그러면 분명히 Ε는 소수가 아니다.
εἰ γὰρ ὁ Ε πρῶτός ἐστι καὶ μετρεῖ τὸν Δ, καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός·
왜냐하면 만일 Ε가 소수이고 Δ를 측정한다면, 그것은 Α와 같지 않으면서 소수인 Α도 측정할 것인데, 이는 불가능하기 때문이다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ Ε πρῶτός ἐστιν.
그러므로 Ε는 소수가 아니다.
σύνθετος ἄρα.
그러므로 합성수이다.
πᾶς δὲ σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται·
그리고 모든 합성수는 어떤 소수에 의해 측정된다.
ὁ Ε ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
그러므로 Ε는 어떤 소수에 의해 측정된다.
λέγω δή, ὅτι ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου μετρηθήσεται πλὴν τοῦ Α. εἰ γὰρ ὑφʼ ἑτέρου μετρεῖται ὁ Ε, ὁ δὲ Ε τὸν Δ μετρεῖ, κἀκεῖνος ἄρα τὸν Δ μετρήσει·
나는 그것이 Α 이외의 다른 어떤 소수에 의해서도 측정되지 않을 것이라고 주장한다. 왜냐하면 만일 Ε가 다른 소수에 의해 측정되고 Ε가 Δ를 측정한다면, 그 소수 역시 Δ를 측정할 것이기 때문이다.
ὥστε καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그리하여 그것은 Α와 같지 않으면서 소수인 Α도 측정할 것인데, 이는 불가능하기 때문이다.
ὁ Α ἄρα τὸν Ε μετρεῖ.
그러므로 Α는 Ε를 측정한다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ. λέγω, ὅτι ὁ Ζ οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
그리고 Ε가 Δ를 측정하므로, 그것을 Ζ를 몫으로 하여 측정한다고 하자. 나는 Ζ가 Α, Β, Γ 중 어느 것과도 같지 않다고 주장한다.
εἰ γὰρ ὁ Ζ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτὸς καὶ μετρεῖ τὸν Δ κατὰ τὸν Ε, καὶ εἷς ἄρα τῶν Α, Β, Γ τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ε. ἀλλὰ εἷς τῶν Α, Β, Γ τὸν Δ μετρεῖ κατά τινα τῶν Α, Β, Γ·
왜냐하면 만일 Ζ가 Α, Β, Γ 중 하나와 같고 Δ를 Ε를 몫으로 하여 측정한다면, Α, Β, Γ 중 하나 역시 Δ를 Ε를 몫으로 하여 측정할 것이기 때문이다. 그러나 Α, Β, Γ 중 하나는 Δ를 Α, Β, Γ 중 어떤 것을 몫으로 하여 측정한다.
καὶ ὁ Ε ἄρα ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
그러므로 Ε 역시 Α, Β, Γ 중 하나와 같아지는데, 이는 가정되지 않았다.
οὐκ ἄρα ὁ Ζ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
그러므로 Ζ는 Α, Β, Γ 중 어느 것과도 같지 않다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι μετρεῖται ὁ Ζ ὑπὸ τοῦ Α, δεικνύντες πάλιν, ὅτι ὁ Ζ οὔκ ἐστι πρῶτος.
마찬가지로 우리는 Ζ가 Α에 의해 측정됨을 보일 것인데, 다시 Ζ가 소수가 아님을 증명함으로써 보일 것이다.
εἰ γάρ, καὶ μετρεῖ τὸν Δ, καὶ τὸν α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
왜냐하면 만일［Ζ가 소수이고］ Δ를 측정한다면, 그것은 Α와 같지 않으면서 소수인 Α를 측정할 것인데, 이는 불가능하기 때문이다.
οὐκ ἄρα πρῶτός ἐστιν ὁ Ζ·
그러므로 Ζ는 소수가 아니다.
σύνθετος ἄρα.
그러므로 합성수이다.
ἅπας δὲ σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται·
그리고 모든 합성수는 어떤 소수에 의해 측정된다.
ὁ Ζ ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
그러므로 지정된 소수에 의해 측정된다.
λέγω δή, ὅτι ὑφʼ ἑτέρου πρώτου οὐ μετρηθήσεται πλὴν τοῦ α.
나는 그것이 Α 이외의 다른 소수에 의해서는 측정되지 않을 것이라고 주장한다.
εἰ γὰρ ἕτερός τις πρῶτος τὸν Ζ μετρεῖ, ὁ δὲ Ζ τὸν Δ μετρεῖ, κἀκεῖνος ἄρα τὸν Δ μετρήσει·
왜냐하면 만일 다른 어떤 소수가 Ζ를 측정하고 Ζ가 Δ를 측정한다면, 그 소수 역시 Δ를 측정할 것이기 때문이다.
ὥστε καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그리하여 그것은 아와 같지 않으면서 소수인 Α도 측정할 것인데, 이는 불가능하기 때문이다.
ὁ Α ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ.
그러므로 Α는 Ζ를 측정한다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ζ, ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
그리고 Ε가 Δ를 Ζ를 몫으로 하여 측정하므로, 그러므로 Ε는 Ζ를 곱하여 Δ를 만들었다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν·
그런데 또한 Α도 Γ를 곱하여 Δ를 만들었다.
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Γ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Ζ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Γ. ὁ δὲ Α τὸν Ε μετρεῖ·
그러므로 Α, Γ의 곱은 Ε, Ζ의 곱과 같다. 그러므로 비례적으로 Α의 Ε에 대한 비는 Ζ의 Γ에 대한 비와 같다. 그런데 Α는 Ε를 측정한다.
καὶ ὁ Ζ ἄρα τὸν Γ μετρεῖ.
그러므로 Ζ 역시 Γ를 측정한다.
μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β ἐστιν ὁ αὐτός, καὶ ὅτι μετρεῖται ὑπὸ τοῦ Α. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Η, ὁ Ζ ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
그것을 Η를 몫으로 하여 측정한다고 하자. 마찬가지로 우리는 Η가 Α, Β 중 어느 것과도 같지 않고, 그것이 Α에 의해 측정됨을 보일 것이다. 그리고 Ζ가 Γ를 Η를 몫으로 하여 측정하므로, 그러므로 Ζ는 Η를 곱하여 Γ를 만들었다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν·
그런데 또한 Α도 Β를 곱하여 Γ를 만들었다.
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ζ, Η. ἀνάλογον ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ζ, ὁ Η πρὸς τὸν Β. μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Ζ·
그러므로 Α, Β의 곱은 Ζ, Η의 곱과 같다. 그러므로 비례적으로 Α의 Ζ에 대한 비는 Η의 Β에 대한 비와 같다. 그런데 Α는 Ζ를 측정한다.
μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Η τὸν Β. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὁ Θ τῷ Α οὐκ ἔστιν ὁ αὐτός.
그러므로 Η 역시 Β를 측정한다. 그것을 Θ를 몫으로 하여 측정한다고 하자. 마찬가지로 우리는 Θ가 Α와 같지 않음을 보일 것이다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Θ, ὁ Η ἄρα τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
그리고 Η가 Β를 Θ를 몫으로 하여 측정하므로, 그러므로 Η는 Θ를 곱하여 Β를 만들었다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν·
그런데 또한 Α도 자신을 곱하여 Β를 만들었다.
ὁ ἄρα ὑπὸ Θ, Η ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α τετραγώνῳ.
그러므로 Θ, Η의 곱은 Α의 제곱과 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Η. μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Η·
그러므로 Θ의 Α에 대한 비는 Α의 Η에 대한 비와 같다. 그런데 Α는 Η를 측정한다.
μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Θ τὸν Α πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός·
그러므로 Θ 역시 Α와 같지 않으면서 소수인 Α를 측정한다.
ὅπερ ἄτοπον.
이는 불합리하다.
οὐκ ἄρα ὁ μέγιστος ὁ Δ ὑπὸ ἑτέρου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ·
그러므로 가장 큰 수인 Δ는 Α, Β, Γ 이외의 다른 어떤 수에 의해서도 측정되지 않을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.