§9.prop.16ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, οὐκ ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ δεύτερος πρὸς ἄλλον τινά.
만일 두 수가 서로소라면, 첫 번째 수와 두 번째 수의 비는 두 번째 수와 다른 어떤 수의 비와 같지 않을 것이다.
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν·
왜냐하면 두 수 Α, Β가 서로소라고 하자.
λέγω, ὅτι οὐκ ἔστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς ἄλλον τινά.
나는 Α와 Β의 비가 Β와 다른 어떤 수의 비와 같지 않다고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ. οἱ δὲ Α, Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον·
왜냐하면, 가능하다면, Α와 Β의 비가 Β와 Γ의 비와 같다고 하자. 그런데 Α, Β는 서로소이고, 서로소인 수들은 또한 최소이며, 최소인 수들은 자신들과 같은 비를 가진 수들을, 전항이 전항을 후항이 후항을 같은 횟수만큼 측정한다.
μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον.
그러므로 Α는 전항이 전항을 측정하듯이 Β를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν·
그런데 그것은 자신도 측정한다.
ὁ Α ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἄτοπον.
그러므로 Α는 서로소 인 Α, Β를 측정하는데, 이는 모순이다.
οὐκ ἄρα ἔσται ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ·
그러므로 Α와 Β의 비는 Β와 Γ의 비와 같지 않을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.17ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, οὐκ ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ ἔσχατος πρὸς ἄλλον τινά.
만일 임의의 개수의 수들이 계속하여 비례하고 그들의 양 끝 수가 서로소라면, 첫 번째 수와 두 번째 수의 비는 마지막 수와 다른 어떤 수의 비와 같지 않을 것이다.
ἔστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν·
임의의 개수의 계속하여 비례하는 수들을 Α, Β, Γ, Δ라 하고, 그들의 양 끝 수인 Α, Δ가 서로소라고 하자.
λέγω, ὅτι οὐκ ἔστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς ἄλλον τινά.
나는 Α와 Β의 비가 Δ와 다른 어떤 수의 비와 같지 않다고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε·
왜냐하면, 가능하다면, Α와 Β의 비가 Δ와 Ε의 비와 같다고 하자.
ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, ὁ Β πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Δ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.
그러므로 교대로, Α와 Δ의 비는 Β와 Ε의 비와 같다. 그런데 Α, Δ는 서로소이고, 서로소인 수들은 또한 최소이며, 최소인 수들은 자신들과 같은 비를 가진 수들을, 전항이 전항을 후항이 후항을 같은 횟수만큼 측정한다.
μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ. καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ· ὥστε καὶ ὁ Α τὸν Γ μετρεῖ.
그러므로 Α는 Β를 측정한다. 그리고 Α와 Β의 비는 Β와 Γ의 비와 같다. 그러므로 Β 역시 Γ를 측정하며, 그리하여 Α 역시 Γ를 측정한다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Γ, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ. ἀλλʼ ὁ Α τὸν Γ ἐμέτρει·
그리고 Β와 Γ의 비는 Γ와 Δ의 비와 같고, Β는 Γ를 측정하므로, 그러므로 Γ 역시 Δ를 측정한다. 그런데 Α는 Γ를 측정하고 있었다.
ὥστε ὁ Α καὶ τὸν Δ μετρεῖ.
그리하여 Α 역시 Δ를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν.
그런데 그것은 자신도 측정한다.
ὁ Α ἄρα τοὺς α, Δ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그러므로 Α는 서로소인 Α, Δ를 측정하는데, 이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἔσται ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς ἄλλον τινά·
그러므로 Α와 Β의 비는 Δ와 다른 어떤 수의 비와 같지 않을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.18δύο ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι, εἰ δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
두 수가 주어졌을 때, 그들에 대하여 비례하는 세 번째 수를 찾는 것이 가능한지 조사하는 것.
ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ δέον ἔστω ἐπισκέψασθαι, εἰ δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
주어진 두 수를 Α, Β라 하고, 그들에 대하여 비례하는 세 번째 수를 찾는 것이 가능한지 조사하는 것이 요구된다고 하자.
οἱ δὴ Α, Β ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ.
이제 Α, Β는 서로소이거나 그렇지 않거나 둘 중 하나이다.
καὶ εἰ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, δέδεικται, ὅτι ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
만일 그들이 서로소라면, 그들에 대하여 비례하는 세 번째 수를 찾는 것은 불가능하다는 것이 증명되었다.
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω·
그러면 Α, Β가 서로소가 아니라고 하고, Β가 자신을 곱하여 Γ를 만든다고 하자.
ὁ Α δὴ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
그러면 Α는 Γ를 측정하거나 측정하지 않거나 둘 중 하나이다.
μετρείτω πρότερον κατὰ τὸν Δ·
먼저, 그것이 Δ를 몫으로 하여 측정한다고 하자.
ὁ Α ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
그러므로 Α는 Δ를 곱하여 Γ를 만들었다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν·
그런데 또한 Β도 자신을 곱하여 Γ를 만들었다.
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Δ·
그러므로 Α, Δ의 곱은 Β의 제곱과 같다. 그러므로 Α와 Β의 비는 Β와 Δ의 비와 같다.
τοῖς Α, Β ἄρα τρίτος ἀριθμὸς ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Δ.
ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Γ·
그러므로 Α, Β에 대하여 비례하는 세 번째 수인 Δ가 찾아졌다. 그러면 Α가 Γ를 측정하지 않는다고 하자.
λέγω, ὅτι τοῖς Α, Β ἀδύνατόν ἐστι τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν.
나는 Α, Β에 대하여 비례하는 세 번째 수를 찾는 것은 불가능하다고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, προσηυρήσθω ὁ Δ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β. ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἐστιν ὁ Γ·
왜냐하면, 가능하다면, Δ가 찾아졌다고 하자. 그러므로 Α, Δ의 곱은 Β의 제곱과 같다. 그런데 Β의 제곱은 Γ이다.
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ Γ. ὥστε ὁ Α τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν·
그러므로 Α, Δ의 곱은 Γ와 같다. 그리하여 Α는 Δ를 곱하여 Γ를 만들었다.
ὁ Α ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Δ. ἀλλὰ μὴν ὑπόκειται καὶ μὴ μετρῶν· ὅπερ ἄτοπον.
그러므로 Α는 Γ를 Δ를 몫으로 하여 측정한다. 그런데 또한 측정하지 않는다고도 가정되어 있는데, 이는 모순이다.
οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς Α, Β τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν, ὅταν ὁ Α τὸν Γ μὴ μετρῇ·
그러므로 Α가 Γ를 측정하지 않을 때, Α, Β에 대하여 비례하는 세 번째 수를 찾는 것은 불가능하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.