§8.prop.5οἱ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσι τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
평면수들은 서로에 대하여 변들로 합성된 비를 가진다.
ἔστωσαν ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ ἀριθμοί, τοῦ δὲ Β οἱ Ε, Ζ·
평면수 Α, Β가 있고, Α의 변들은 수 Γ, Δ이며, Β의 변들은 Ε, Ζ라 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
나는 Α의 Β에 대한 비가 변들로 합성된 비를 가진다고 주장한다.
λόγων γὰρ δοθέντων τοῦ τε ὃν ἔχει ὁ Γ πρὸς τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐλάχιστοι ἐν τοῖς ΓΕ, ΔΖ λόγοις, οἱ Η, Θ, Κ, ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὸν Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως τὸν Η πρὸς τὸν θ, ὡς δὲ τὸν Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως τὸν Θ πρὸς τὸν Κ. καὶ ὁ Δ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω.
왜냐하면, Γ의 Ε에 대한 비와 Δ의 Ζ에 대한 비라는 주어진 비들에 대하여, ΓΕ, ΔΖ 비율 안에서 연속하는 가장 작은 수들 Η, Θ, Κ가 취해졌다고 하자. 그리하여 Γ의 Ε에 대한 비가 Η의 Θ에 대한 비와 같고, Δ의 Ζ에 대한 비가 Θ의 Κ에 대한 비와 같게 하라. 그리고 Δ가 Ε를 곱하여 Λ를 만들게 하라.
καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ. ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Θ πρὸς τὸν Κ, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ·
그리고 Δ가 Γ를 곱하여 Α를 만들었고, Ε를 곱하여 Λ를 만들었으므로, 그러므로 Γ의 Ε에 대한 비는 Α의 Λ에 대한 비와 같다. 그런데 Γ의 Ε에 대한 비는 Η의 Θ에 대한 비와 같다. 그러므로 Η의 Θ에 대한 비 역시 Α의 Λ에 대한 비와 같다. 다시, Ε가 Δ를 곱하여 Λ를 만들고, 또한 Ζ를 곱하여 Β를 만들었으므로, 그러므로 Δ의 Ζ에 대한 비는 Λ의 Β에 대한 비와 같다. 그런데 Δ의 Ζ에 대한 비는 Θ의 Κ에 대한 비와 같다. 그러므로 Θ의 Κ에 대한 비 역시 Λ의 Β에 대한 비와 같다. 그런데 Η의 Θ에 대한 비가 Α의 Λ에 대한 비와 같음이 증명되었다.
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Κ, ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ δὲ Η πρὸς τὸν Κ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν·
그러므로 등비에 의해, Η의 Κ에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같다. 그런데 Η의 Κ에 대한 비는 변들로 합성된 비를 가진다.
καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν·
그러므로 Α 역시 Β에 대하여 변들로 합성된 비를 가진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§8.prop.6ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτος τὸν δεύτερον μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει.
임의의 개수의 수들이 연속하여 비례하고, 첫째 수가 둘째 수를 측정하지 못한다면, 다른 어떤 수도 다른 어떤 수를 측정하지 못할 것이다.
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, δ, Ε, ὁ δὲ Α τὸν Β μὴ μετρείτω·
임의의 개수의 연속하여 비례하는 수들 Α, Β, Γ, Δ, Ε가 있고, Α가 Β를 측정하지 않는다 하자.
λέγω, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει.
나는 다른 어떤 수도 다른 어떤 수를 측정하지 못할 것이라고 주장한다.
ὅτι μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε ἑξῆς ἀλλήλους οὐ μετροῦσιν, φανερόν·
Α, Β, Γ, Δ, Ε가 서로 연속하여 측정하지 못한다는 것은 명백하다.
οὐδὲ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.
왜냐하면 Α가 Β를 측정하지 않기 때문이다.
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει.
나는 다른 어떤 수도 다른 어떤 수를 측정하지 못할 것이라고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείτω ὁ Α τὸν Γ. καὶ ὅσοι εἰσὶν οἱ Α, Β, Γ, τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ οἱ Ζ, Η, Θ. καὶ ἐπεὶ οἱ Ζ, Η, Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖς Α, Β, Γ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Β, Γ τῷ πλήθει τῶν Ζ, Η, Θ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β, οὐ μετρεῖ ἄρα οὐδὲ ὁ Ζ τὸν Η·
만약 가능하다면, Α가 Γ를 측정한다고 하자. 그리고 Α, Β, Γ의 개수와 같은 만큼, Α, Β, Γ와 같은 비를 가지는 가장 작은 수들 Ζ, Η, Θ가 취해졌다고 하자. 그리고 Ζ, Η, Θ는 Α, Β, Γ와 같은 비 안에 있고, Α, Β, Γ의 개수는 Ζ, Η, Θ의 개수와 같으므로, 그러므로 등비에 의해 Α의 Γ에 대한 비는 Ζ의 Θ에 대한 비와 같다. 그리고 Α의 Β에 대한 비는 Ζ의 Η에 대한 비와 같고, Α가 Β를 측정하지 않으므로, 그러므로 Ζ 역시 Η를 측정하지 못한다.
οὐκ ἄρα μονάς ἐστιν ὁ Ζ·
그러므로 Ζ는 단위가 아니다.
ἡ γὰρ μονὰς πάντα ἀριθμὸν μετρεῖ.
왜냐하면 단위는 모든 수를 측정하기 때문이다.
καί εἰσιν οἱ Ζ, Θ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
그리고 Ζ, Θ는 서로소이다.
καί ἐστιν ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ·
그리고 Ζ의 Θ에 대한 비는 Α의 Γ에 대한 비와 같다.
οὐδὲ ὁ Α ἄρα τὸν Γ μετρεῖ.
그러므로 Α 역시 Γ를 측정하지 못한다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει·
이와 같이 우리는 다른 어떤 수도 다른 어떤 수를 측정하지 못한다는 것을 증명할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.