§8.prop.9ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
두 수가 서로소이고, 그들 사이에 연속하여 비례하는 수들이 끼어든다면, 그들 사이에 연속하여 비례하여 끼어드는 수들의 개수만큼, 그들의 각각과 단위 사이에도 연속하여 비례하는 수들이 끼어들 것이다.
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ ἐκκείσθω ἡ Ε μονάς·
서로소인 두 수 Α, Β가 있고, 그들 사이에 연속하여 비례하는 수들 Γ, Δ가 끼어든다 하고, 단위 Ε가 놓여 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ὅσοι εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ τῆς μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
나는 Α, Β 사이에 연속하여 비례하여 끼어든 수들의 개수만큼, Α, Β의 각각과 단위 사이에도 연속하여 비례하는 수들이 끼어들 것이라고 주장한다.
εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ τῶν Α, Γ, Δ, Β λόγῳ ὄντες οἱ Ζ, Η, τρεῖς δὲ οἱ Θ, Κ, Λ, καὶ ἀεὶ ἑξῆς ἑνὶ πλείους, ἕως ἂν ἴσον γένηται τὸ πλῆθος αὐτῶν τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, Β. εἰλήφθωσαν, καὶ ἔστωσαν οἱ Μ, Ν, Ξ, Ο. φανερὸν δή, ὅτι ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, τὸν δὲ Θ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν, καὶ ὁ Η ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν, τὸν δὲ Λ πολλαπλασιάσας τὸν Ο πεποίηκεν.
왜냐하면 Α, Γ, Δ, Β의 비 안에 있는 가장 작은 두 수 Ζ, Η가 취해지고, 세 수로는 Θ, Κ, Λ가, 그리고 그들의 개수가 Α, Γ, Δ, Β의 개수와 같아질 때까지 항상 연속하여 하나씩 더 많이 취해졌다고 하자. 취해졌다고 하고, 그들을 Μ, Ν, Ξ, Ο라 하자. 그러면 명백하게도, Ζ는 자신을 곱하여 Θ를 만들었고, Θ를 곱하여 Μ을 만들었으며, Η는 자신을 곱하여 Λ를 만들었고, Λ를 곱하여 Ο를 만들었다.
καὶ ἐπεὶ οἱ Μ, Ν, Ξ, Ο ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ, Η, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ, Η, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, Β, ἕκαστος ἄρα τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο ἑκάστῳ τῶν Α, Γ, Δ, Β ἴσος ἐστίν·
그리고 Μ, Ν, Ξ, Ο는 Ζ, Η와 같은 비를 가지는 수들 중에서 가장 작고, Α, Γ, Δ, Β 역시 Ζ, Η와 같은 비를 가지는 수들 중에서 가장 작으며, Μ, Ν, Ξ, Ο의 개수는 Α, Γ, Δ, Β의 개수와 같으므로, 그러므로 Μ, Ν, Ξ, Ο의 각각은 Α, Γ, Δ, Β의 각각과 같다.
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Μ τῷ Α, ὁ δὲ Ο τῷ Β. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, ὁ Ζ ἄρα τὸν Θ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας.
그러므로 Μ은 Α와 같고, Ο는 Β와 같다. 그리고 Ζ는 자신을 곱하여 Θ를 만들었으므로, 그러므로 Ζ는 Θ를 Ζ 안에 있는 단위의 개수만큼 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
그런데 단위 Ε 역시 Ζ를 그 안에 있는 단위의 개수만큼 측정한다.
ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Θ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν, ὁ Θ ἄρα τὸν Μ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας.
그러므로 단위 Ε가 수 Ζ를 측정하는 횟수와 Ζ가 Θ를 측정하는 횟수는 같다. 그러므로 단위 Ε의 수 Ζ에 대한 비는 Ζ의 Θ에 대한 비와 같다. 다시, Ζ는 Θ를 곱하여 Μ을 만들었으므로, 그러므로 Θ는 Μ을 Ζ 안에 있는 단위의 개수만큼 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
그런데 단위 Ε 역시 수 Ζ를 그 안에 있는 단위의 개수만큼 측정한다.
ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Θ τὸν Μ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Μ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ·
그러므로 단위 Ε가 수 Ζ를 측정하는 횟수와 Θ가 Μ을 측정하는 횟수는 같다. 그러므로 단위 Ε의 수 Ζ에 대한 비는 Θ의 Μ에 대한 비와 같다. 그런데 단위 Ε의 수 Ζ에 대한 비는 Ζ의 Θ에 대한 비와 같다는 것도 증명되었다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Μ. ἴσος δὲ ὁ Μ τῷ Α·
그러므로 단위 Ε의 수 Ζ에 대한 비는 Ζ의 Θ에 대한 비, 그리고 Θ의 Μ에 대한 비와 같다. 그런데 Μ은 Α와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Α. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Η ἀριθμόν, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ὅσοι ἄρα εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ μονάδος τῆς Ε μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί·
그러므로 단위 Ε의 수 Ζ에 대한 비는 Ζ의 Θ에 대한 비, 그리고 Θ의 Α에 대한 비와 같다. 완전히 같은 이유로, 단위 Ε의 수 Η에 대한 비는 Η의 Λ에 대한 비, 그리고 Λ의 Β에 대한 비와 같다. 그러므로 Α, Β 사이에 연속하여 비례하여 끼어든 수들의 개수만큼, Α, Β의 각각과 단위 Ε 사이에도 연속하여 비례하는 수들이 끼어들었다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.