§8.prop.23ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ τέταρτος κύβος ἔσται.
만일 네 수가 계속비례하고 첫째 수가 세제곱수이면, 넷째 수도 세제곱수일 것이다.
ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ Α κύβος ἔστω·
네 수 Α, Β, Γ, Δ가 계속비례하고 Α가 세제곱수 라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Δ κύβος ἐστίν.
나는 Δ도 세제곱수라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ τῶν Α, Δ δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ, οἱ Α, Δ ἄρα ὅμοιοί εἰσι στερεοὶ ἀριθμοί.
왜냐하면 Α, Δ 사이에 두 수 Β, Γ가 계속비례하므로, 그러므로 Α, Δ는 닮은 입체수이다.
κύβος δὲ ὁ Α·
그런데 Α는 세제곱수이다.
κύβος ἄρα καὶ ὁ Δ·
그러므로 Δ도 세제곱수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§8.prop.24ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ πρῶτος τετράγωνος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος τετράγωνος ἔσται.
만일 두 수가 서로에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비와 같은 비를 가지고 첫째 수가 제곱수이면, 둘째 수도 제곱수일 것이다.
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς ἀλλήλους λόγον ἐχέτωσαν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν τὸν Δ, ὁ δὲ Α τετράγωνος ἔστω·
왜냐하면 두 수 Α, Β가 서로에 대하여 제곱수 Γ가 제곱수 Δ에 대하여 가지는 비와 같은 비를 가지고, Α가 제곱수라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Β τετράγωνός ἐστιν.
나는 Β도 제곱수라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ, Δ τετράγωνοί εἰσιν, οἱ Γ, Δ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
왜냐하면 Γ, Δ는 제곱수이므로, 그러므로 Γ, Δ는 닮은 평면수이다.
τῶν Γ, Δ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
그러므로 Γ, Δ 사이에 한 수 가 계속비례하여 끼어든다.
καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Α πρὸς τὸν Β·
그리고 Γ의 Δ에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같다.
καὶ τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
그러므로 Α, Β 사이에도 한 수가 계속비례하여 끼어든다.
καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνος·
그리고 Α는 제곱수이다.
καὶ ὁ Β ἄρα τετράγωνός ἐστιν·
그러므로 Β도 제곱수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§8.prop.25ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος κύβος ἔσται.
만일 두 수가 서로에 대하여 입체수가 입체수에 대하여 가지는 비와 같은 비를 가지고 첫째 수가 세제곱수이면, 둘째 수도 세제곱수일 것이다.
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς ἀλλήλους λόγον ἐχέτωσαν, ὃν κύβος ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς κύβον ἀριθμὸν τὸν Δ, κύβος δὲ ἔστω ὁ Α·
왜냐하면 두 수 Α, Β가 세제곱수 Γ가 세제곱수 Δ에 대하여 가지는 비와 같은 비를 가지고, Α가 세제곱수라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Β κύβος ἐστίν.
나는 Β도 세제곱수라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ, Δ κύβοι εἰσίν, οἱ Γ, Δ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν·
왜냐하면 Γ, Δ는 세제곱수이므로, Γ, Δ는 닮은 입체수이다.
τῶν Γ, Δ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
그러므로 Γ, Δ 사이에 두 수가 계속비례하여 끼어든다.
ὅσοι δὲ εἰς τοὺς Γ, Δ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς·
그런데 Γ, Δ 사이에 계속비례하여 끼어드는 수가 몇 개이든, 그들과 같은 비를 가지는 수들 사이에도 그만큼 끼어든다.
ὥστε καὶ τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
그러므로 Α, Β 사이에도 두 수가 계속비례하여 끼어든다.
ἐμπιπτέτωσαν οἱ Ε, Ζ. ἐπεὶ οὖν τέσσαρες ἀριθμοὶ οἱ Α, Ε, Ζ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστι κύβος ὁ Α, κύβος ἄρα καὶ ὁ Β·
그것들이 Ε, Ζ로 끼어든다고 하자. 그러므로 네 수 Α, Ε, Ζ, Β가 계속비례하고, Α가 세제곱수이므로, 그러므로 Β도 세제곱수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§8.prop.26οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
닮은 평면수들은 서로에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비와 같은 비를 가진다.
ἔστωσαν ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β·
닮은 평면수를 Α, Β라고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
나는 Α가 Β에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비와 같은 비를 가진다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν, τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
왜냐하면 Α, Β는 닮은 평면수이므로, 그러므로 Α, Β 사이에 한 수가 계속비례하여 끼어든다.
ἐμπιπτέτω καὶ ἔστω ὁ Γ, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Β οἱ Δ, Ε, Ζ·
그것이 끼어든다고 하고 Γ라고 하자. 그리고 Α, Γ, Β와 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작은 수들인 Δ, Ε, Ζ가 취해졌다고 하자.
οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Δ, Ζ τετράγωνοί εἰσιν.
그러므로 그것들의 양 끝 수인 Δ, Ζ는 제곱수이다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, καί εἰσιν οἱ Δ, Ζ τετράγωνοι, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그리고 Δ의 Ζ에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같고, Δ, Ζ는 제곱수이므로, 그러므로 Α의 Β에 대한 비는 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§8.prop.27οἱ ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν.
닮은 입체수들은 서로에 대하여 세제곱수가 세제곱수에 대하여 가지는 비와 같은 비를 가진다.
ἔστωσαν ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β·
닮은 입체수를 Α, Β라고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν.
나는 Α가 Β에 대하여 세제곱수가 세제곱수에 대하여 가지는 비와 같은 비를 가진다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ὅμοιοι στερεοί εἰσιν, τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
왜냐하면 Α, Β는 닮은 입체수이므로, 그러므로 Α, Β 사이에 두 수가 계속비례하여 끼어든다.
ἐμπιπτέτωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, Β ἴσοι αὐτοῖς τὸ πλῆθος οἱ ε, Ζ, Η, Θ·
그것들이 Γ, Δ로 끼어든다고 하고, Α, Γ, Δ, Β와 같은 비를 가지고 그것들과 개수가 같은 가장 작은 수들인 Ε, Ζ, Η, Θ가 취해졌다고 하자.
οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε, Θ κύβοι εἰσίν.
그러므로 그것들의 양 끝 수인 Ε, Θ는 세제곱수이다.
καί ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν·
그리고 Ε의 Θ에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같으므로, 그러므로 Α의 Β에 대한 비는 세제곱수가 세제곱수에 대하여 가지는 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.