§8.prop.20ἐὰν δύο ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτῃ ἀριθμός, ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἔσονται οἱ ἀριθμοί.
만일 두 수 사이에 한 수가 계속비례하여 끼어든다면, 그 수들은 닮은 평면수일 것이다.
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπιπτέτω ἀριθμὸς ὁ Γ·
왜냐하면 두 수 Α, Β 사이에 한 수 Γ가 계속비례하여 끼어든다고 하자.
λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
나는 Α, Β가 닮은 평면수라고 주장한다.
εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ οἱ Δ, Ε·
Α, Γ와 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작은 수들 Δ, Ε를 취하자.
ἰσάκις ἄρα ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Γ. ὁσάκις δὴ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ·
그러므로 Δ가 Α를 재는 횟수와 Ε가 Γ를 재는 횟수는 같다. 이제, Δ가 Α를 재는 횟수만큼의 단위들이 Ζ 안에 있다고 하자.
ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
그러므로 Ζ는 Δ를 곱하여 Α를 만들었다.
ὥστε ὁ Α ἐπίπεδός ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Δ, Ζ. πάλιν, ἐπεὶ οἱ Δ, Ε ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Γ, Β, ἰσάκις ἄρα ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Β. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Η. ὁ Ε ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Η μονάδας·
따라서 Α는 평면수이고, 그것의 변은 Δ, Ζ이다. 다시, Δ, Ε는 Γ, Β와 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작으므로, 그러므로 Δ가 Γ를 재는 횟수와 Ε가 Β를 재는 횟수는 같다. 이제, Ε가 Β를 재는 횟수만큼의 단위들이 Η 안에 있다고 하자. 그러므로 Ε는 Η 안에 있는 단위들의 수만큼 Β를 잰다.
ὁ Η ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
그러므로 Η는 Ε를 곱하여 Β를 만들었다.
ὁ Β ἄρα ἐπίπεδός ἐστι, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Ε, Η. οἱ Α, Β ἄρα ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
그러므로 Β는 평면 수이고, 그것의 변은 Ε, Η이다. 그러므로 Α, Β는 평면수이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ὅμοιοι.
이제 나는 그것들이 닮았다고도 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Ζ τὸν μὲν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν ὁ Γ πρὸς τὸν Β. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε ἑκάτερον τῶν Ζ, Η πολλαπλασιάσας τοὺς Γ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Β. ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε·
왜냐하면 Ζ는 Δ를 곱하여 Α를 만들었고, Ε를 곱하여 Γ를 만들었으므로, 그러므로 Δ의 Ε에 대한 비는 Α의 Γ에 대한 비와 같고, 즉 Γ의 Β에 대한 비와 같다. 다시, Ε는 Ζ, Η의 각각을 곱하여 Γ, Β를 만들었으므로, 그러므로 Ζ의 Η에 대한 비는 Γ의 Β에 대한 비와 같다. 그런데 Γ의 Β에 대한 비는 Δ의 Ε에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. καὶ ἐναλλὰξ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Η. οἱ Α, Β ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί·
그러므로 Δ의 Ε에 대한 비는 Ζ의 Η에 대한 비와 같다. 그리고 교대로, Δ의 Ζ에 대한 비는 Ε의 Η에 대한 비와 같다. 그러므로 Α, Β는 닮은 평면수이다.
αἱ γὰρ πλευραὶ αὐτῶν ἀνάλογόν εἰσιν·
왜냐하면 그 변들이 비례하기 때문이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.