§7.prop.10ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου ἢ τὸ αὐτὸ μέρος.
만약 어떤 수가 어떤 수의 여러 부분이고, 다른 수도 다른 수의 동일한 여러 부분이라면, 서로 바꾸어도, 첫 번째 수가 세 번째 수의 어떤 여러 부분 또는 부분인 것과 동일하게 두 번째 수도 네 번째 수의 동일한 여러 부분 또는 동일한 부분일 것이다.
ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη·
수 AB는 수 Γ의 여러 부분이고, 다른 수 ΔΕ도 다른 수 Ζ의 동일한 여러 부분이라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλάξ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέρος.
나는 서로 바꾸어도, AB가 ΔΕ의 어떤 여러 부분 또는 부분인 것과 동일하게 Γ도 Ζ의 동일한 여러 부분 또는 동일한 부분이라고 주장한다.
ἐπεὶ γάρ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ, ΗΒ, ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ·
왜냐하면 AB가 Γ의 어떤 여러 부분인 것과 동일하게 ΔΕ도 Ζ의 동일한 여러 부분이고, 따라서 AB 안에 있는 Γ의 부분들의 개수만큼 ΔΕ 안에도 Ζ의 부분들의 개수가 있기 때문이다. AB를 Γ의 부분들인 ΑΗ, ΗΒ로 나누고, ΔΕ를 Ζ의 부분들인 ΔΘ, ΘΕ로 나누자.
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ, ΘΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ, καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
그러면 ΑΗ, ΗΒ의 개수는 ΔΘ, ΘΕ의 개수와 같을 것이다. 그리고 ΑΗ가 Γ의 어떤 부분인 것과 동일하게 ΔΘ도 Ζ의 동일한 부분이고, 서로 바꾸어도, ΑΗ가 ΔΘ의 어떤 부분 또는 여러 부분인 것과 동일하게 Γ도 Ζ의 동일한 부분 또는 여러 부분이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΒ τοῦ ΘΕ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη·
동일한 이유로 또한, ΗΒ가 ΘΕ의 어떤 부분 또는 여러 부분인 것과 동일하게 Γ도 Ζ의 동일한 부분 또는 여러 부분이다.
ὥστε καί ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέρος·
그러므로 AB가 ΔΕ의 어떤 여러 부분 또는 부분인 것과 동일하게 Γ도 Ζ의 동일한 여러 부분 또는 동일한 부분이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.11ἐὰν ᾖ ὡς ὅλος πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθεὶς πρὸς ἀφαιρεθέντα, καὶ ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν λοιπὸν ἔσται, ὡς ὅλος πρὸς ὅλον.
만약 전체가 전체에 대한 비가 빼낸 수가 빼낸 수에 대한 비와 같다면, 남은 수가 남은 수에 대한 비도 전체가 전체에 대한 비와 같을 것이다.
ἔστω ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸν ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθέντα τὸν ΓΖ·
전체 AB가 전체 ΓΔ에 대한 비가, 빼낸 AE가 빼낸 ΓΖ에 대한 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸν ΖΔ ἐστιν, ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸν ΓΔ.
ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως ὁ ΑΕ πρὸς τὸν ΓΖ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
나는 남은 EB가 남은 ΖΔ에 대한 비도 전체 AB가 전체 ΓΔ에 대한 비와 같다고 주장한다. AB가 ΓΔ에 대한 비가 AE가 ΓΖ에 대한 비와 같으므로, 따라서 AB가 ΓΔ의 어떤 부분 또는 여러 부분인 것과 동일하게 AE도 ΓΖ의 동일한 부분 또는 여러 부분이다.
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ πρὸς τὸν ΖΔ, οὕτως ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΓΔ·
그러므로 남은 EB도 남은 ΖΔ의 동일한 부분 또는 여러 부분이며, 이는 AB가 ΓΔ에 대해 갖는 것과 같다. 그러므로 EB가 ΖΔ에 대한 비는 AB가 ΓΔ에 대한 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.12ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον, ἔσται ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους.
만약 몇 개든 임의의 수들이 비례한다면, 선행하는 것들 중 하나가 후행하는 것들 중 하나에 대한 비는 선행하는 모든 것들이 후행하는 모든 것들에 대한 비와 같을 것이다.
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
몇 개든 임의의 비례하는 수들을 Α, Β, Γ, Δ라 하고, Α가 Β에 대한 비가 Γ가 Δ에 대한 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως οἱ Α, Γ πρὸς τοὺς Β, Δ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ μέρη.
나는 Α가 Β에 대한 비는 둘을 합한 Α, Γ가 둘을 합한 Β, Δ에 대한 비와 같다고 주장한다. 왜냐하면 Α가 Β에 대한 비가 Γ가 Δ에 대한 비와 같으므로, 따라서 Α가 Β의 어떤 부분 또는 여러 부분인 것과 동일하게 Γ도 Δ의 동일한 부분 또는 여러 부분이다.
καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ Α, Γ συναμφοτέρου τοῦ Β, Δ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, ἅπερ ὁ Α τοῦ Β. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως οἱ Α, Γ πρὸς τοὺς Β, Δ·
그러므로 둘을 합한 Α, Γ도 둘을 합한 Β, Δ의 동일한 부분 또는 여러 부분이며, 이는 Α가 Β에 대해 갖는 것과 같다. 그러므로 Α가 Β에 대한 비는 둘을 합한 Α, Γ가 둘을 합한 Β, Δ에 대한 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.