§7.prop.16ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἴσοι ἀλλήλοις ἔσονται.
만약 두 수가 서로를 곱하여 어떤 수들을 만든다면, 그들로부터 생겨난 수들은 서로 같을 것이다.
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω·
두 수를 A, B라 하고, A가 B를 곱하여 Γ를 만들고, B가 A를 곱하여 Δ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Γ τῷ Δ.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
나는 Γ가 Δ와 같다고 주장한다. 왜냐하면 A가 B를 곱하여 Γ를 만들었으므로, 따라서 B는 A 안에 있는 단위들의 수에 따라 Γ를 잰다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
또한 단위 E도 수 A를 그 안에 있는 단위들의 수에 따라 잰다.
ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Γ. ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Γ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Β μονάδας.
그러므로 단위 E가 수 A를 재는 횟수와 B가 Γ를 재는 횟수가 같다. 그러므로 서로 바꾸면, 단위 E가 수 B를 재는 횟수와 A가 Γ를 재는 횟수가 같다. 다시, B가 A를 곱하여 Δ를 만들었으므로, 따라서 A는 B 안에 있는 단위들의 수에 따라 Δ를 잰다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Β κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
또한 단위 E도 그 안에 있는 단위들의 수에 따라 수 B를 잰다.
ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Δ. ἰσάκις δὲ ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν ἐμέτρει καὶ ὁ Α τὸν Γ·
그러므로 단위 E가 수 B를 재는 횟수와 A가 Δ를 재는 횟수가 같다. 그런데 단위 E가 수 B를 재는 횟수와 A가 Γ를 재는 횟수가 같았다.
ἰσάκις ἄρα ὁ Α ἑκάτερον τῶν Γ, Δ μετρεῖ.
그러므로 A는 Γ, Δ 각각을 같은 횟수만큼 잰다.
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ τῷ Δ·
그러므로 Γ는 Δ와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.17ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσας ποιῇ τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς πολλαπλασιασθεῖσιν.
만약 어떤 수가 두 수를 곱하여 어떤 수들을 만든다면, 그들로부터 생겨난 수들은 곱해진 수들과 동일한 비를 가질 것이다.
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α δύο ἀριθμοὺς τοὺς Β, Γ πολλαπλασιάσας τοὺς Δ, Ε ποιείτω·
왜냐하면 수 A가 두 수 B, Γ를 곱하여 Δ, E를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
나는 B가 Γ에 대한 비가 Δ가 E에 대한 비와 같다고 주장한다. 왜냐하면 A가 B를 곱하여 Δ를 만들었으므로, 따라서 B는 A 안에 있는 단위들의 수에 따라 Δ를 잰다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ζ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
또한 단위 Z도 수 A를 그 안에 있는 단위들의 수에 따라 잰다.
ἰσάκις ἄρα ἡ Ζ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Δ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ζ μονὰς πρὸς τὸν Α ἀριθμόν, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ Ζ μονὰς πρὸς τὸν Α ἀριθμόν, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ε·
그러므로 단위 Z가 수 A를 재는 횟수와 B가 Δ를 재는 횟수가 같다. 그러므로 단위 Z가 수 A에 대한 비는 B가 Δ에 대한 비와 같다. 실로 동일한 이유로, 단위 Z가 수 A에 대한 비는 Γ가 E에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Β πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ε. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε·
그러므로 또한 B가 Δ에 대한 비는 Γ가 E에 대한 비와 같다. 그러므로 서로 바꾸면 B가 Γ에 대한 비는 Δ가 E에 대한 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.18ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς πολλαπλασιάσασιν.
만약 두 수가 어떤 수를 곱하여 어떤 수들을 만든다면, 그들로부터 생겨난 수들은 곱한 수들과 동일한 비를 가질 것이다.
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Δ, Ε ποιείτωσαν·
왜냐하면 두 수 A, B가 어떤 수 Γ를 곱하여 Δ, E를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
나는 A가 B에 대한 비가 Δ가 E에 대한 비와 같다고 주장한다. 왜냐하면 A가 B를 곱하여 Δ를 만들었으므로, 따라서 Γ가 A를 곱하여도 Δ를 만들었다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν.
실로 동일한 이유로, Γ가 B를 곱하여 E를 만들었다.
ἀριθμὸς δὴ ὁ Γ δύο ἀριθμοὺς τοὺς Α, Β πολλαπλασιάσας τοὺς Δ, Ε πεποίηκεν.
그러므로 수 Γ가 두 수 A, B를 곱하여 Δ, E를 만들었다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν ε·
그러므로 A가 B에 대한 비는 Δ가 E에 대한 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.