§6.prop.8ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.
만일 직각삼각형에서 직각으로부터 밑변에 수선이 그어진다면, 수선 양옆에 생기는 삼각형들은 전체 삼각형과도 닮음이고 또한 서로도 닮음이다.
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ·
직각삼각형 ABC가 직각 BAC를 가지고 있고, A로부터 BC에 수선 AD가 그어진다고 하자.
λέγω, ὅτι ὅμοιόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒΔ, ΑΔΓ τριγώνων ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἔτι ἀλλήλοις.
나는 주장한다, 삼각형 ABD, ADC의 각각은 전체 ABC와 닮음이고, 나아가 서로도 닮음이다.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΒΓ καὶ τοῦ ΑΒΔ ἡ πρὸς τῷ Β, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἐστιν ἴση·
왜냐하면 각 BAC는 각 ADB와 같고 (왜냐하면 각각 직각이므로), 또한 두 삼각형 ABC와 ABD에 B에서의 각이 공통이므로, 남은 각 ACB는 남은 각 BAD와 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABC는 삼각형 ABD와 등각삼각형이다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὴν ΒΑ ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, οὕτως αὐτὴ ἡ ΑΒ ὑποτείνουσα τὴν πρὸς τῷ Γ γωνίαν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὴν ΒΔ ὑποτείνουσαν τὴν ἴσην τὴν ὑπὸ ΒΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, καὶ ἔτι ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ ὑποτείνουσαν τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν κοινὴν τῶν δύο τριγώνων.
그러므로 삼각형 ABC의 직각을 대변하는 BC가 삼각형 ABD의 직각을 대변하는 BA에 대하여 가지는 비는, 삼각형 ABC의 C에서의 각을 대변하는 AB 자체가 삼각형 ABD의 (이와 같은) 각 BAD를 대변하는 BD에 대하여 가지는 비와 같고, 나아가 AC가 두 삼각형의 공통인 B에서의 각을 대변하는 AD에 대하여 가지는 비와 같다.
τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει.
그러므로 삼각형 ABC는 삼각형 ABD와 등각삼각형이고, 또한 같은 각을 끼고 있는 변들이 비례한다.
ὅμοιον ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABC는 삼각형 ABD와 닮음이다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον·
마찬가지로 우리는 삼각형 ABC가 삼각형 ADC와도 닮음임을 증명할 것이다.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΔ, ΑΔΓ ὅμοιόν ἐστιν ὅλῳ τῷ ΑΒΓ.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ τρίγωνα.
그러므로 ABD, ADC의 각각은 전체 ABC와 닮음이다.
ἐπεὶ γὰρ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ ἐστιν ἴση, ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ Γ ἐδείχθη ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση·
나는 다시 주장한다, 삼각형 ABD, ADC는 서로도 닮음이다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ.
왜냐하면 직각 BDA는 직각 ADC와 같고, 또한 각 BAD도 C에서의 각과 같다고 증명되었으므로, 남은 B에서의 각도 남은 각 DAC와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑποτείνουσα τὴν ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τὴν ΔΑ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ὑποτείνουσαν τὴν πρὸς τῷ Γ ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΑΔ, οὕτως αὐτὴ ἡ ΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑποτείνουσα τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν πρὸς τὴν ΔΓ ὑποτείνουσαν τὴν ὑπὸ ΔΑΓ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ἴσην τῇ πρὸς τῷ Β, καὶ ἔτι ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ ὑποτείνουσαι τὰς ὀρθάς·
그러므로 삼각형 ABD는 삼각형 ADC와 등각삼각형이다.
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABD의 각 BAD를 대변하는 BD가 삼각형 ADC의 (각 BAD와 같은) C에서의 각을 대변하는 DA에 대하여 가지는 비는, 삼각형 ABD의 B에서의 각을 대변하는 AD 자체가 삼각형 ADC의 (B에서의 각과 같은) 각 DAC를 대변하는 DC에 대하여 가지는 비와 같고, 나아가 직각을 대변하는 BA가 AC에 대하여 가지는 비와 같다.
ἐὰν ἄρα ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.
그러므로 삼각형 ABD는 삼각형 ADC와 닮음이다.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν·
그러므로 만일 직각삼각형에서 직각으로부터 밑변에 수선이 그어진다면, 수선 양옆에 생기는 삼각형들은 전체 삼각형과도 닮음이고 또한 서로도 닮음이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
따름정리 이로부터 명백히, 만일 직각삼각형에서 직각으로부터 밑변에 수선이 그어진다면, 그어진 수선은 밑변의 두 분절들 사이의 비례중항이다. 이것이 증명하고자 했던 것이다.