§6.prop.12τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν.
주어진 세 직선에 대하여 제4비례항을 찾는 것.
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ·
주어진 세 직선을 A, B, C라 하자.
δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν.
A, B, C에 대한 제4비례항을 찾아야 한다.
Ἐκκείσθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΔΖ γωνίαν περιέχουσαι τὴν ὑπὸ ΕΔΖ·
두 직선 DE, DZ가 각 EDZ를 품도록 놓이게 하라.
καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἴση ἡ ΔΗ, τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΗΕ, καὶ ἔτι τῇ Γ ἴση ἡ ΔΘ·
그리고 A와 같게 DH를, B와 같게 HE를, 또한 C와 같게 DΘ를 놓아라.
καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΗΘ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΕΖ.
ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΔΕΖ παρὰ μίαν τὴν ΕΖ ἦκται ἡ ΗΘ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΖ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΗ τῇ Α, ἡ δὲ ΗΕ τῇ Β, ἡ δὲ ΔΘ τῇ Γ·
그리고 HΘ가 이어졌을 때, E를 지나 이것과 평행하게 EZ가 그어지게 하라.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν ΘΖ.
τριῶν ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Α, Β, Γ τετάρτη ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΘΖ·
그러므로 삼각형 DEZ의 변들 중 하나인 EZ에 평행하게 HΘ가 그어졌으므로, DH가 HE에 대하여 가지는 비는 DΘ가 ΘZ에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 DH는 A와 같고, HE는 B와 같으며, DΘ는 C와 같다. 그러므로 A가 B에 대하여 가지는 비는 C가 ΘZ에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 주어진 세 직선 A, B, C에 대하여, 그것들의 제4비례항인 ΘZ가 찾아졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 것이다.
§6.prop.13δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.
주어진 두 직선에 대하여 비례중항을 찾는 것.
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ·
주어진 두 직선을 AB, BC라 하자.
δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.
AB, BC에 대한 비례중항을 찾아야 한다.
κείσθωσαν ἐπʼ εὐθείας, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ.
ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ, ὀρθή ἐστιν.
이 직선들이 일직선 위에 놓이게 하고, AC 위에 반원 ADC를 그리며, 점 B로부터 직선 AC에 수직으로 BD를 긋고, AD, DC를 이어라. 반원 안의 각인 각 ADC는 직각이다.
καὶ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΔΓ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΔΒ, ἡ ΔΒ ἄρα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τῶν ΑΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογόν ἐστιν.
그리고 직각삼각형 ADC에서, 직각으로부터 밑변 위로 수선 DB가 그어졌으므로, DB는 밑변의 토막들인 AB, BC의 비례중항이다.
δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΔΒ·
그러므로 주어진 두 직선 AB, BC에 대하여, 그것들의 비례중항인 DB가 찾아졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 것이다.
§6.prop.14τῶν ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας·
서로 같고 등각인 평행사변형들에서, 같은 각들을 품은 변들은 역비례한다.
καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.
그리고 같은 각들을 품은 변들이 역비례하는 등각평행사변형들은 서로 같다.
ἔστω ἴσα τε καὶ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ, ΒΓ ἴσας ἔχοντα τὰς πρὸς τῷ Β γωνίας, καὶ κείσθωσαν ἐπʼ εὐθείας αἱ ΔΒ, ΒΕ·
서로 같고 등각인 평행사변형들을 AB, BC라 하고, 점 B에서의 각들이 같다고 하자. 그리고 DB, BE가 일직선 위에 놓이게 하라.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΖΒ, ΒΗ. λέγω, ὅτι τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ.
συμπεπληρώσθω γὰρ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον.
그러므로 ZB, BH도 일직선 위에 있다. 나는 AB, BC에서 같은 각들을 품은 변들이 역비례한다고 말한다. 즉 DB가 BE에 대하여 가지는 비는 HB가 BZ에 대하여 가지는 비와 같다. 왜냐하면 평행사변형 ZE가 완성되게 하라.
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ, ἄλλο δέ τι τὸ ΖΕ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, ὡς δὲ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ·
그러므로 평행사변형 AB가 평행사변형 BC와 같고, 다른 어떤 평행사변형 ZE가 있으므로, AB가 ZE에 대하여 가지는 비는 BC가 ZE에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 AB가 ZE에 대하여 가지는 비는 DB가 BE에 대하여 가지는 비와 같고, BC가 ZE에 대하여 가지는 비는 HB가 BZ에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ. τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.
그러므로 DB가 BE에 대하여 가지는 비도 HB가 BZ에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 평행사변형 AB, BC에서 같은 각들을 품은 변들은 역비례한다.
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ·
하지만 이번에는 DB가 BE에 대하여 가지는 비가 HB가 BZ에 대하여 가지는 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ.
나는 평행사변형 AB가 평행사변형 BC와 같다고 말한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως τὸ ΒΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ·
왜냐하면 DB가 BE에 대하여 가지는 비는 HB가 BZ에 대하여 가지는 비와 같고, 그런데 DB가 BE에 대하여 가지는 비는 평행사변형 AB가 평행사변형 ZE에 대하여 가지는 비와 같고, HB가 BZ에 대하여 가지는 비는 평행사변형 BC가 평행사변형 ZE에 대하여 가지는 비와 같으므로, 평행사변형 AB가 평행사변형 ZE에 대하여 가지는 비도 평행사변형 BC가 평행사변형 ZE에 대하여 가지는 비와 같다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ.
그러므로 평행사변형 AB는 평행사변형 BC와 같다.
τῶν ἄρα ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας·
그러므로 서로 같고 등각인 평행사변형들에서, 같은 각들을 품은 변들은 역비례한다.
καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα·
그리고 같은 각들을 품은 변들이 역비례하는 등각평행사변형들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여주고자 했던 것이다.