§6.prop.25τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι.
주어진 직선도형과 닮음이고, 다른 주어진 도형과 같으면서, 이 둘을 만족하는 동일한 도형을 작도하는 것。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ὅμοιον συστήσασθαι, τὸ ΑΒΓ, ᾧ δὲ δεῖ ἴσον, τὸ Δ·
닮음인 도형을 작도해야 하는 주어진 직선도형을 ΑΒΓ라 하고, 같아야 하는 도형을 Δ라 하자.
δεῖ δὴ τῷ μὲν ΑΒΓ ὅμοιον, τῷ δὲ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι.
그러면 ΑΒΓ와 닮음이고, Δ와 같으면서, 이 둘을 만족하는 동일한 도형을 작도해야 한다.
παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ μὲν τὴν ΒΓ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕ, παρὰ δὲ τὴν ΓΕ τῷ Δ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΜ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΓΕ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ ΓΒΛ. ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΛΕ τῇ ΕΜ. καὶ εἰλήφθω τῶν ΒΓ, ΓΖ μέση ἀνάλογον ἡ ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΗΘ τῷ ΑΒΓ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΚΗΘ.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΓΖ, ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον.
왜냐하면 ΒΓ 옆에 삼각형 ΑΒΓ와 같은 평행사변형 ΒΕ를 대어 붙이고, ΓΕ 옆에는 각 ΓΒΛ과 같은 각 ΖΓΕ를 이루도록 Δ와 같은 평행사변형 ΓΜ을 대어 붙이자. 그러므로 ΒΓ는 ΓΖ와 일직선상에 있고, ΛΕ는 ΕΜ과 일직선상에 있다. 그리고 ΒΓ, ΓΖ의 비례중항 ΗΘ를 구하고, ΗΘ 위에 ΑΒΓ와 닮음이며 닮은 위치에 놓인 도형 ΚΗΘ를 그리자. 그리고 ΒΓ가 ΗΘ에 대함과 같이 그렇게 ΗΘ가 ΓΖ에 대하고, 만약 세 직선이 비례한다면 첫 번째 직선이 세 번째 직선에 대함과 같이 그렇게 첫 번째 직선 위에 그려진 도형이 두 번째 직선 위에 닮음이며 닮은 위치에 그려진 도형에 대하므로, ΒΓ가 ΓΖ에 대함과 같이 그렇게 삼각형 ΑΒΓ가 삼각형 ΚΗΘ에 대한다.
ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον.
그런데 ΒΓ가 ΓΖ에 대함과 같이 그렇게 평행사변형 ΒΕ가 평행사변형 ΕΖ에 대한다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον·
그러므로 삼각형 ΑΒΓ가 삼각형 ΚΗΘ에 대함과 같이 그렇게 평행사변형 ΒΕ가 평행사변형 ΕΖ에 대한다.
ἐναλλὰξ ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον, οὕτως τὸ ΚΗΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον.
따라서 교대비에 의해, 삼각형 ΑΒΓ가 평행사변형 ΒΕ에 대함과 같이 그렇게 삼각형 ΚΗΘ가 평행사변형 ΕΖ에 대한다.
ἴσον δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΕ παραλληλογράμμῳ·
그런데 삼각형 ΑΒΓ는 평행사변형 ΒΕ와 같다.
ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον τῷ ΕΖ παραλληλογράμμῳ.
그러므로 삼각형 ΚΗΘ도 평행사변형 ΕΖ와 같다.
ἀλλὰ τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον τῷ Δ ἐστιν ἴσον·
그런데 평행사변형 ΕΖ는 Δ와 같다.
καὶ τὸ ΚΗΘ ἄρα τῷ Δ ἐστιν ἴσον.
그러므로 ΚΗΘ도 Δ와 같다.
ἔστι δὲ τὸ ΚΗΘ καὶ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον.
그리고 ΚΗΘ는 ΑΒΓ와도 닮음이다.
τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι τῷ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συνέσταται τὸ ΚΗΘ·
그러므로 주어진 직선도형 ΑΒΓ와 닮음이고, 다른 주어진 도형 Δ와 같으면서, 이 둘을 만족하는 동일한 도형 ΚΗΘ가 작도되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 바이다。