§6.prop.28παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι·
주어진 직선 옆에 주어진 직선도형과 같은 평행사변형을, 주어진 모양과 닮은 평행사변형 모양만큼 부족하도록 대어 붙이는 것.
δεῖ δὲ τὸ διδόμενον εὐθύγραμμον μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι.
단, 주어진 직선도형은 절반 위에 그려지며 그 부족한 부분과 닮음인 것보다 더 커서는 안 된다.
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ μὴ μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν, τὸ Δ·
주어진 직선을 ΑΒ 라 하고, ΑΒ 옆에 그것과 같게 대어 붙여야 할 주어진 직선도형을 Γ 라 하자. 이것은 ΑΒ 의 절반 위에 그려지며 그 부족한 부분과 닮음인 것보다 더 크지 않다. 그리고 그것과 닮게 부족해야 할 모양을 Δ 라 하자.
δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ.
τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΕΒΖΗ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον.
이때 주어진 직선 ΑΒ 옆에 주어진 직선도형 Γ 와 같은 평행사변형을, Δ 와 닮은 평행사변형 모양만큼 부족하도록 대어 붙여야 한다. ΑΒ 가 점 Ε 에서 이등분되었다고 하고, ΕΒ 위에 Δ 와 닮음이고 닮은 위치에 놓인 ΕΒΖΗ 가 그려지며, 평행사변형 ΑΗ 가 완성되었다고 하자.
εἰ μὲν οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ Γ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν·
만약 ΑΗ 가 Γ 와 같다면 명해진 일이 완료되었을 것이다.
παραβέβληται γὰρ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΑΗ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΗΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ. εἰ δὲ οὔ, μεῖζον ἔστω τὸ ΘΕ τοῦ Γ. ἴσον δὲ τὸ ΘΕ τῷ ΗΒ·
왜냐하면 주어진 직선 ΑΒ 옆에 주어진 직선도형 Γ 와 같은 평행사변형 ΑΗ 가, Δ 와 닮은 평행사변형 ΗΒ 모양만큼 부족하도록 대어 붙여졌기 때문이다. 그렇지 않다면, ΘΕ 가 Γ 보다 크다고 하자. 그런데 ΘΕ 는 ΗΒ 와 같다.
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ Γ. ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΒ τοῦ Γ, ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΚΛΜΝ. ἀλλὰ τὸ Δ τῷ ΗΒ ὅμοιον·
그러므로 ΗΒ 도 Γ 보다 크다. 이때 ΗΒ 가 Γ 보다 큰 그 차이와 같고, Δ 와 닮음이며 닮은 위치에 놓인 평행사변형 ΚΛΜΝ 이 구성되었다고 하자. 그런데 Δ 는 ΗΒ 와 닮음이다.
καὶ τὸ ΚΜ ἄρα τῷ ΗΒ ἐστιν ὅμοιον.
그러므로 ΚΜ 도 ΗΒ 와 닮음이다.
ἔστω οὖν ὁμόλογος ἡ μὲν ΚΛ τῇ ΗΕ, ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΗΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῖς Γ, ΚΜ, μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΚΜ·
그러므로 ΚΛ 은 ΗΕ 에 대응하고, ΛΜ 은 ΗΖ 에 대응한다고 하자. 그리고 ΗΒ 는 Γ 와 ΚΜ 의 합과 같으므로, ΗΒ 는 ΚΜ 보다 더 크다.
μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΗΕ τῆς ΚΛ, ἡ δὲ ΗΖ τῆς ΛΜ. κείσθω τῇ μὲν ΚΛ ἴση ἡ ΗΞ, τῇ δὲ ΛΜ ἴση ἡ ΗΟ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΞΗΟΠ παραλληλόγραμμον·
그러므로 또한 ΗΕ 는 ΚΛ 보다 크고, ΗΖ 는 ΛΜ 보다 크다. ΚΛ 과 같은 ΗΞ 가 놓이고, ΛΜ 과 같은 ΗΟ 가 놓여서, 평행사변형 ΞΗΟΠ 가 완성되었다고 하자.
ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΚΜ.
그러므로 이것은 ΚΜ 과 같고 닮음이다.
καὶ τὸ ΗΠ ἄρα τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιν·
따라서 ΗΠ 도 ΗΒ 와 닮음이다.
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΗΠ τῷ ΗΒ. ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΗΠΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
그러므로 또한 ΗΠ 는 ΗΒ 와 동일한 대각선 상에 있다. 그것들의 대각선을 ΗΠΒ 라 하고, 그림을 그리자.
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΗ τοῖς Γ, ΚΜ, ὧν τὸ ΗΠ τῷ ΚΜ ἐστιν ἴσον, λοιπὸς ἄρα ὁ ΥΧΦ γνώμων λοιπῷ τῷ Γ ἴσος ἐστίν.
그러므로 ΒΗ 는 Γ 와 ΚΜ 의 합과 같고, 그 중 ΗΠ 는 ΚΜ 과 같으므로, 남은 그노몬 ΥΧΦ 는 남은 Γ 와 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΟΡ τῷ ΞΣ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΠΒ·
그리고 ΟΡ 는 ΞΣ 와 같으므로, 공통인 ΠΒ 를 더하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΟΒ ὅλῳ τῷ ΞΒ ἴσον ἐστίν.
그러면 전체 ΟΒ 는 전체 ΞΒ 와 같다.
ἀλλὰ τὸ ΞΒ τῷ ΤΕ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση·
그런데 ΞΒ 는 ΤΕ 와 같다. 변 ΑΕ 가 변 ΕΒ 와 같기 때문이다.
καὶ τὸ ΤΕ ἄρα τῷ ΟΒ ἐστιν ἴσον.
그러므로 ΤΕ 도 ΟΒ 와 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΣ·
공통인 ΞΣ 를 더하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΤΣ ὅλῳ τῷ ΦΧΥ γνώμονί ἐστιν ἴσον.
그러면 전체 ΤΣ 는 전체 그노몬 ΦΧΥ 와 같다.
ἀλλʼ ὁ ΦΧΥ γνώμων τῷ Γ ἐδείχθη ἴσος·
그런데 그노몬 ΦΧΥ 는 Γ 와 같음이 증명되었다.
καὶ τὸ ΤΣ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον.
그러므로 ΤΣ 도 Γ 와 같다.
παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΣΤ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ·
그러므로 주어진 직선 ΑΒ 옆에 주어진 직선도형 Γ 와 같은 평행사변형 ΣΤ 가, Δ 와 닮은 평행사변형 ΠΒ 모양만큼 부족하도록 대어 붙여졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 해야 했던 일이다.