§6.prop.23τὰ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
등각평행사변형들은 서로에 대하여 변들의 비로부터 합성되는 비를 가진다.
ἔστω ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΓ, ΓΖ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΗ·
등각평행사변형 AΓ, ΓZ가 있어서, 각 BΓΔ가 각 EΓH와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
나는 평행사변형 AΓ의 평행사변형 ΓZ에 대한 비가 변들의 비로부터 합성되는 비라고 주장한다.
κείσθω γὰρ ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΓΗ·
왜냐하면 BC가 CH와 일직선 위에 있도록 놓이자.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ Κ, καὶ γεγονέτω ὡς μὲν ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν Λ, ὡς δὲ ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ Λ πρὸς τὴν Μ.
οἱ ἄρα λόγοι τῆς τε Κ πρὸς τὴν Λ καὶ τῆς Λ πρὸς τὴν Μ οἱ αὐτοί εἰσι τοῖς λόγοις τῶν πλευρῶν, τῆς τε ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ καὶ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ. ἀλλʼ ὁ τῆς Κ πρὸς Μ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Κ πρὸς Λ λόγου καὶ τοῦ τῆς Λ πρὸς Μ·
그러면 DC도 CE와 일직선 위에 있다. 그리고 평행사변형 ΔH를 완성하고, 어떤 직선 K를 정하여, BC가 CH에 대함과 같이 그렇게 K가 Λ에 대하고, DC가 CE에 대함과 같이 그렇게 Λ가 M에 대하도록 하자. 그러므로 K의 Λ에 대한 비와 Λ의 M에 대한 비는 변들의 비, 즉 BC의 CH에 대한 비와 DC의 CE에 대한 비와 같다. 그런데 K의 M에 대한 비는 K의 Λ에 대한 비와 Λ의 M에 대한 비로부터 합성된다.
ὥστε καὶ ἡ Κ πρὸς τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
그러므로 K도 M에 대하여 변들의 비로부터 합성되는 비를 가진다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΘ, ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν λ, καὶ ὡς ἄρα ἡ Κ πρὸς τὴν Λ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΘ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ, ἀλλʼ ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ Λ πρὸς τὴν Μ, καὶ ὡς ἄρα ἡ Λ πρὸς τὴν Μ, οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον.
그리고 BC가 CH에 대함과 같이 그렇게 평행사변형 AΓ가 ΓΘ에 대하고, BC가 CH에 대함과 같이 그렇게 K가 λ에 대하므로, 그러므로 K가 Λ에 대함과 같이 그렇게 AΓ가 ΓΘ에 대한다. 다시, DC가 CE에 대함과 같이 그렇게 평행사변형 ΓΘ가 ΓZ에 대하고, DC가 CE에 대함과 같이 그렇게 Λ가 M에 대하므로, 그러므로 Λ가 M에 대함과 같이 그렇게 평행사변형 ΓΘ가 평행사변형 ΓZ에 대한다.
ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡς μὲν ἡ Κ πρὸς τὴν Λ, οὕτως τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ Λ πρὸς τὴν Μ, οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Κ πρὸς τὴν Μ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον.
그러므로 K가 Λ에 대함과 같이 그렇게 평행사변형 AΓ가 평행사변형 ΓΘ에 대하고, Λ가 M에 대함과 같이 그렇게 평행사변형 ΓΘ가 평행사변형 ΓZ에 대한다고 증명되었으므로, 등비의 리에 의해, K가 M에 대함과 같이 그렇게 AΓ가 평행사변형 ΓZ에 대한다.
ἡ δὲ Κ πρὸς τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· καὶ τὸ ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΓΖ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
그런데 K는 M에 대하여 변들의 비로부터 합성되는 비를 가지므로, 그러므로 AΓ도 ΓZ에 대하여 변들의 비로부터 합성되는 비를 가진다.
τὰ ἄρα ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν·
그러므로 등각평행사변형들은 서로에 대하여 변들의 비로부터 합성되는 비를 가진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.