§6.prop.19τὰ ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
닮은 삼각형들은 서로 대응하는 변들의 이배비(제곱비)의 비를 가진다.
ἔστω ὅμοια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἴσην ἔχοντα τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν τῇ πρὸς τῷ Ε, ὡς δὲ τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ὥστε ὁμόλογον εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ·
닮은 삼각형들 ABΓ, ΔEZ가 있어 B에서의 각은 E에서의 각과 같고, AB가 BΓ에 대하여 가지는 비는 ΔE가 EZ에 대하여 가지는 비와 같으며, 그리하여 BΓ가 EZ에 대응한다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν ΒΓ, ΕΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΗ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς τὴν ΒΗ·
나는 삼각형 ABΓ가 삼각형 ΔEZ에 대하여 가지는 비는, BΓ가 EZ에 대하여 가지는 비의 이배비를 가진다고 말한다. 왜냐하면 BΓ, EZ에 대하여 제3의 비례항 BH가 얻어지게 하라. 그리하여 BΓ가 EZ에 대하여 가지는 비는 EZ가 BH에 대하여 가지는 비와 같게 하라.
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΖ πρὸς ΒΗ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΔΕ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΒΗ·
그리고 AH가 연결되게 하라. 그러므로 AB가 BΓ에 대하여 가지는 비는 ΔE가 EZ에 대하여 가지는 비와 같으므로, 그러므로 교대로, AB가 ΔE에 대하여 가지는 비는 BΓ가 EZ에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 BΓ가 EZ에 대하여 가지는 비는 EZ가 BH에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 또한 AB가 ΔE에 대하여 가지는 비는 EZ가 BH에 대하여 가지는 비와 같다.
τῶν ΑΒΗ, ΔΕΖ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.
그러므로 삼각형 ABH, ΔEZ에서 등각들을 품은 변들은 역비례한다.
ὧν δὲ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.
그런데 각자 하나씩의 등각을 가진 삼각형들에서 등각들을 품은 변들이 역비례하면, 그것들은 같다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABH는 삼각형 ΔEZ와 같다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΗ, ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν δευτέραν, ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς τὴν ΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΕΖ. ὡς δὲ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ τρίγωνον·
그리고 BΓ가 EZ에 대하여 가지는 비는 EZ가 BH에 대하여 가지는 비와 같고, 세 직선이 비례한다면 첫 번째 것은 세 번째 것에 대하여 두 번째 것에 대하여 가지는 비의 이배비를 가지므로, 그러므로 BΓ는 BH에 대하여, ΓB가 EZ에 대하여 가지는 비의 이배비를 가진다. 그리고 ΓB가 BH에 대하여 가지는 비는 삼각형 ABΓ가 삼각형 ABH에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἴσον δὲ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ·
그러므로 또한 삼각형 ABΓ는 ABH에 대하여, BΓ가 EZ에 대하여 가지는 비의 이배비를 가진다. 그런데 삼각형 ABH는 삼각형 ΔEZ와 같다.
καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.
τὰ ἄρα ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν·
그러므로 또한 삼각형 ABΓ는 삼각형 ΔEZ에 대하여, BΓ가 EZ에 대하여 가지는 비의 이배비를 가진다. 그러므로 닮은 삼각형들은 서로 대응하는 변들의 이배비의 비를 가진다.
. Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον·
따름정리 이로부터, 만약 세 직선이 비례한다면, 첫 번째 것이 세 번째 것에 대하여 가지는 비는, 첫 번째 것 위에 그려진 도형이 두 번째 것 위에 그려진 닮음이고 닮은 위치에 놓인 도형에 대하여 가지는 비와 같음이 명백하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여주고자 했던 것이다.