§6.prop.20#2ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΖΘ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΘ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ·
왜냐하면 AΓ, ΖΘ가 연결되게 하라. 그리고 다각형들의 닮음으로 인해 각 ABΓ는 각 ZHΘ와 같고, AB가 BΓ에 대하여 가지는 비는 ZH가 HΘ에 대하여 가지는 비와 같으므로, 삼각형 ABΓ는 삼각형 ΖΗΘ와 등각이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΘ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΝ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ τῇ ὑπὸ ΖΗΝ ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ ἴση ἐστίν·
그러므로 각 BAΓ는 각 HΖΘ와 같고, 각 BΓA는 각 HΘΖ와 같다. 그리고 각 BAM은 각 HΖN과 같고, 각 ABM 역시 각 ΖHN과 같으므로, 그러므로 남은 각 AMB 역시 남은 각 ΖNH와 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABM은 삼각형 ΖHN과 등각이다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ ΒΜΓ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΗΝΘ τριγώνῳ.
마찬가지로 삼각형 BMΓ 역시 삼각형 HNΘ와 등각임을 보일 것이다.
ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς μὲν ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΗ, ὡς δὲ ἡ ΒΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΗΝ πρὸς ΝΘ·
그러므로 비례 관계에 의해, AM이 MB에 대하여 가지는 비는 ΖN이 NH에 대하여 가지는 비와 같고, BM이 MΓ에 대하여 가지는 비는 HN이 NΘ에 대하여 가지는 비와 같다.
ὥστε καὶ διʼ ἴσου, ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΜ πρὸς τὸ ΜΒΓ, καὶ τὸ ΑΜΕ πρὸς τὸ ΕΜΓ·
그리하여 또한 등비에 의해, AM이 MΓ에 대하여 가지는 비는 ΖN이 NΘ에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 AM이 MΓ에 대하여 가지는 비는, ABM이 MBΓ에 대하여 가지는 비와 같고, AME가 EMΓ에 대하여 가지는 비와 같다.
πρὸς ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις.
왜냐하면 그것들은 서로에 대하여 그 밑변들의 비와 같기 때문이다.
καὶ ὡς ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα·
그러므로 전항들 중 하나가 후항들 중 하나에 대하여 가지는 비와 같이, 모든 전항들도 모든 후항들에 대하여 그러하다.
ὡς ἄρα τὸ ΑΜΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΕ πρὸς τὸ ΓΒΕ. ἀλλʼ ὡς τὸ ΑΜΒ πρὸς τὸ ΒΜΓ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ·
그러므로 삼각형 AMB가 삼각형 BMΓ에 대하여 가지는 비는, 삼각형 ABE가 삼각형 ΓBE에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 삼각형 AMB가 삼각형 BMΓ에 대하여 가지는 비는 AM이 MΓ에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΒΓ τρίγωνον.
그러므로 또한 AM이 MΓ에 대하여 가지는 비는 삼각형 ABE가 삼각형 EBΓ에 대하여 가지는 비와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ, οὕτως τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον.
같은 이유로 ΖN이 NΘ에 대하여 가지는 비는 삼각형 ΖHΛ가 삼각형 HΛΘ에 대하여 가지는 비와 같다.
καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ·
그리고 AM이 MΓ에 대하여 가지는 비는 ΖN이 NΘ에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΓ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον, καὶ ἐναλλὰξ, ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον.
그러므로 또한 삼각형 ABE가 삼각형 BEΓ에 대하여 가지는 비는 삼각형 ΖHΛ가 삼각형 HΛΘ에 대하여 가지는 비와 같고, 교대하면, 삼각형 ABE가 삼각형 ΖHΛ에 대하여 가지는 비는 삼각형 BEΓ가 삼각형 HΛΘ에 대하여 가지는 비와 같다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΒΔ, ΗΚ, ὅτι καὶ ὡς τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΗΘ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΘΚ τρίγωνον.
마찬가지로 BΔ, HK가 연결되면, 삼각형 BEΓ가 삼각형 ΛHΘ에 대하여 가지는 비는 삼각형 EΓΔ가 삼각형 ΛΘK에 대하여 가지는 비와 같음을 보일 것이다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΒΓ πρὸς τὸ ΛΗΘ, καὶ ἔτι τὸ ΕΓΔ πρὸς τὸ ΛΘΚ, καὶ ὡς ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα·
그리고 삼각형 ABE가 삼각형 ΖHΛ에 대하여 가지는 비는 삼각형 EBΓ가 삼각형 ΛHΘ에 대하여 가지는 비와 같고, 나아가 삼각형 EΓΔ가 삼각형 ΛΘK에 대하여 가지는 비와 같으므로, 그러므로 전항들 중 하나가 후항들 중 하나에 대하여 가지는 비와 같이, 모든 전항들도 모든 후항들에 대하여 그러하다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον.
그러므로 삼각형 ABE가 삼각형 ΖHΛ에 대하여 가지는 비는 다각형 ABΓΔE가 다각형 ZHΘKΛ에 대하여 가지는 비와 같다.
ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν·
그런데 삼각형 ABE가 삼각형 ΖHΛ에 대하여 가지는 비는 대응하는 변 AB가 대응하는 변 ΖH에 대하여 가지는 비의 이배비를 가진다.
τὰ γὰρ ὅμοια τρίγωνα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
닮은 삼각형들은 대응하는 변들의 이배비에 있기 때문이다.
καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ ἄρα πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν.
그러므로 다각형 ABΓΔE가 다각형 ZHΘKΛ에 대하여 가지는 비 또한 대응하는 변 AB가 대응하는 변 ΖH에 대하여 가지는 비의 이배비를 가진다.
τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν· .
그러므로 닮은 다각형들은 닮은 삼각형들로 분할되며, 개수가 같고 전체에 대응하며, 다각형이 다각형에 대하여 가지는 비는 대응하는 변이 대응하는 변에 대하여 가지는 비의 이배비를 가진다.
Πόρισμα
ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν τετραπλεύρων δειχθήσεται, ὅτι ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
따름정리 마찬가지로 사각형들의 경우에도 그것들이 대응하는 변들의 이배비에 있음이 증명될 것이다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων·
또한 삼각형들의 경우에도 증명되었다.
ὥστε καὶ καθόλου τὰ ὅμοια εὐθύγραμμα σχήματα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
그러므로 보편적으로 닮은 직선도형들은 서로에 대하여 대응하는 변들의 이배비에 있다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.