§5.prop.23ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται.
만일 세 크기가 있고 이들과 개수가 같은 다른 크기들이 있어서, 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가지고, 그들의 비례가 흐트러진 비례라면, 이들은 등비에서도 같은 비를 가질 것이다.
ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τὰ Δ, Ε, Ζ, ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε·
세 크기를 A, B, Γ라 하고, 이들과 개수가 같은 다른 크기들을 Δ, E, Z라 하여, 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가진다고 하자. 그리고 그들의 비례는 흐트러져 있다, 즉 A가 B에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같고, B가 Γ에 대하여 가지는 비는 Δ가 E에 대하여 가지는 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.
εἰλήφθω τῶν μὲν Α, Β, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Γ, Ε, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ τῶν Α, Β, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν·
나는 A가 Γ에 대하여 가지는 비는 Δ가 Z에 대하여 가지는 비와 같다고 말한다. A, B, Δ의 같배수로서 H, Θ, K를 취하고, Γ, E, Z의 다른 임의의 같배수로서 Λ, M, N을 취하자. 그리고 H, Θ는 A, B의 같배수이고, 부분은 마찬가지의 배수들에 대하여 같은 비를 가지므로, 따라서 A가 B에 대하여 가지는 비는 H가 Θ에 대하여 가지는 비와 같다. 같은 이유로 또한 E가 Z에 대하여 가지는 비는 M이 N에 대하여 가지는 비와 같다.
καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ·
그런데 A가 B에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ Η πρὸς τὸ Θ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ δ πρὸς τὸ Ε, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ τὰ Θ, Κ τῶν Β, Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια, τὰ δὲ μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Κ. ἀλλʼ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε·
그러므로 또한 H가 Θ에 대하여 가지는 비는 M이 N에 대하여 가지는 비와 같다. 그리고 B가 Γ에 대하여 가지는 비는 Δ가 E에 대하여 가지는 비와 같으므로, 엇바꾸어 비를 취하면, B가 Δ에 대하여 가지는 비는 Γ가 E에 대하여 가지는 비와 같다. 그리고 Θ, K는 B, Δ의 같배수이고, 부분은 같배수들에 대하여 같은 비를 가지므로, 따라서 B가 Δ에 대하여 가지는 비는 Θ가 K에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 B가 Δ에 대하여 가지는 비는 Γ가 E에 대하여 가지는 비와 같았다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε. πάλιν, ἐπεὶ τὰ Λ, Μ τῶν Γ, Ε ἰσάκις ἐστι πολλαπλάσια, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ. ἀλλʼ ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Κ·
그러므로 또한 Θ가 K에 대하여 가지는 비는 Γ가 E에 대하여 가지는 비와 같다. 다시, Λ, M은 Γ, E의 같배수이므로, 따라서 Γ가 E에 대하여 가지는 비는 Λ가 M에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 Γ가 E에 대하여 가지는 비는 Θ가 K에 대하여 가지는 비와 같았다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Θ πρὸς τὸ Λ, τὸ Κ πρὸς τὸ Μ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Η πρὸς τὸ Θ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η, Θ, Λ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Κ, Μ, Ν σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καί ἐστιν αὐτῶν τεταραγμένη ἡ ἀναλογία, διʼ ἴσου ἄρα, εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
그러므로 또한 Θ가 K에 대하여 가지는 비는 Λ가 M에 대하여 가지는 비와 같고, 엇바꾸어 비를 취하면, Θ가 Λ에 대하여 가지는 비는 K가 M에 대하여 가지는 비와 같다. 한편, H가 Θ에 대하여 가지는 비는 M이 N에 대하여 가지는 비와 같다는 것도 증명되었다. 그러므로 세 크기 H, Θ, Λ가 있고 이들과 개수가 같은 다른 크기들 K, M, N이 있어서, 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가지고, 그들의 비례는 흐트러져 있으므로, 따라서 등비에 의하여, 만일 H가 Λ보다 크면 K도 N보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작을 것이다.
καί ἐστι τὰ μὲν Η, Κ τῶν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Λ, Ν τῶν Γ, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.
ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται·
그리고 H, K는 A, Δ의 같배수이고, Λ, N은 Γ, Z의 같배수이다. 그러므로 A가 Γ에 대하여 가지는 비는 Δ가 Z에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 만일 세 크기가 있고 이들과 개수가 같은 다른 크기들이 있어서, 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가지고 그들의 비례가 흐트러진 비례라면, 이들은 등비에서도 같은 비를 가질 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.