§5.prop.19ἐὰν ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.
만일 전체가 전체에 대하여 가지는 비가 빼낸 크기가 빼낸 크기에 대하여 가지는 비와 같다면, 남은 크기가 남은 크기에 대하여 가지는 비도 전체가 전체에 대하여 가지는 비와 같을 것이다.
ἔστω γὰρ ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΖ·
전체 AB가 전체 ΓΔ에 대하여 가지는 비가, 빼낸 크기 AE가 빼낸 크기 ΓΖ에 대하여 가지는 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΕ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ. καὶ ἐπεὶ συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΒΕ πρὸς τὸ ΕΑ, οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΓΖ·
나는 남은 크기 EB가 남은 크기 ΖΔ에 대하여 가지는 비도 전체 AB가 전체 ΓΔ에 대하여 가지는 비와 같을 것이라고 말한다. 왜냐하면 AB가 ΓΔ에 대하여 가지는 비는 AE가 ΓΖ에 대하여 가지는 비와 같으므로, 엇바꾸어 취하면 BA가 AE에 대하여 가지는 비는 ΔΓ가 ΓΖ에 대하여 가지는 비와 같다. 그리고 합성된 크기들은 비례하므로 분리된 크기들도 비례할 것이다, 즉 BE가 EA에 대하여 가지는 비는 ΔΖ가 ΓΖ에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ΒΕ πρὸς τὸ ΔΖ, οὕτως τὸ ΕΑ πρὸς τὸ ΖΓ. ὡς δὲ τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ, οὕτως ὑπόκειται ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.
그리고 엇바꾸어 취하면 BE가 ΔΖ에 대하여 가지는 비는 EA가 ΖΓ에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 AE가 ΓΖ에 대하여 가지는 비는 전체 AB가 전체 ΓΔ에 대하여 가지는 비와 같다고 가정되어 있다. 그러므로 남은 크기 EB가 남은 크기 ΖΔ에 대하여 가지는 비도 전체 AB가 전체 ΓΔ에 대하여 가지는 비와 같을 것이다. 그러므로 만일 전체가 전체에 대하여 가지는 비가 빼낸 크기가 빼낸 크기에 대하여 가지는 비와 같다면, 남은 크기가 남은 크기에 대하여 가지는 비도 전체가 전체에 대하여 가지는 비와 같을 것이다.
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Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀναστρέψαντι ἀνάλογον ἔσται·
따름정리 이로부터, 만일 합성된 크기들이 비례한다면, 이를 반전하여도 비례할 것임이 명백하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§5.prop.20ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
만일 세 크기가 있고 이들과 개수가 같은 다른 크기들이 있어서, 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가지고, 등비에서 첫째 크기가 셋째 크기보다 크다면 넷째 크기도 여섯째 크기보다 클 것이며, 같으면 같고, 작으면 작을 것이다.
ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, διʼ ἴσου δὲ μεῖζον ἔστω τὸ Α τοῦ Γ·
세 크기를 A, B, Γ라 하고, 이들과 개수가 같은 다른 크기들을 Δ, E, Z라 하자. 이들은 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가진다, 즉 A가 B에 대하여 가지는 비는 Δ가 E에 대하여 가지는 비와 같고, B가 Γ에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같다고 하자. 그리고 등비에서 A가 Γ보다 크다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
나는 Δ도 Z보다 클 것이며, 같으면 같고, 작으면 작을 것이라고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ, ἄλλο δέ τι τὸ Β, τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε·
왜냐하면 A는 Γ보다 크고 B는 다른 어떤 크기이며, 더 큰 크기는 같은 크기에 대하여 더 작은 크기보다 더 큰 비를 가지므로, A가 B에 대하여 가지는 비는 Γ가 B에 대하여 가지는 비보다 더 크다. 그런데 A가 B에 대하여 가지는 비는 Δ가 E에 대하여 가지는 비와 같고, Γ가 B에 대하여 가지는 비는 역으로 Z가 E에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ τὸ Δ ἄρα πρὸς τὸ Ε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε. τῶν δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν.
그러므로 Δ가 E에 대하여 가지는 비는 Z가 E에 대하여 가지는 비보다 더 크다. 그런데 같은 크기에 대하여 비를 가지는 것들 중에서 더 큰 비를 가지는 것이 더 크다.
μεῖζον ἄρα τὸ Δ τοῦ Ζ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
그러므로 Δ는 Z보다 크다. 마찬가지로 만일 A가 Γ와 같다면 Δ도 Z와 같을 것이며, 작으면 작을 것임을 보일 수 있다.
ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον·
그러므로 만일 세 크기가 있고 이들과 개수가 같은 다른 크기들이 있어서, 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가지고, 등비에서 첫째 크기가 셋째 크기보다 크다면 넷째 크기도 여섯째 크기보다 클 것이며, 같으면 같고, 작으면 작을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.