§5.prop.13ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τρίτον δὲ πρὸς τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον, καὶ πρῶτον πρὸς δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον.
만일 첫째 크기가 둘째 크기에 대하여 가지는 비가 셋째 크기가 넷째 크기에 대하여 가지는 비와 같고, 셋째 크기가 넷째 크기에 대하여 가지는 비가 다섯째 크기가 여섯째 크기에 대하여 가지는 비보다 크다면, 첫째 크기가 둘째 크기에 대하여 가지는 비도 다섯째 크기가 여섯째 크기에 대하여 가지는 비보다 클 것이다.
πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, τρίτον δὲ τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ μείζονα λόγον ἐχέτω ἢ πέμπτον τὸ Ε πρὸς ἕκτον τὸ Ζ. λέγω, ὅτι καὶ πρῶτον τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ πέμπτον τὸ Ε πρὸς ἕκτον τὸ Ζ.
ἐπεὶ γὰρ ἔστι τινὰ τῶν μὲν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια, καὶ τὸ μὲν τοῦ Γ πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Δ πολλαπλασίου ὑπερέχει, τὸ δὲ τοῦ Ε πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Ζ πολλαπλασίου οὐχ ὑπερέχει, εἰλήφθω, καὶ ἔστω τῶν μὲν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ὥστε τὸ μὲν Η τοῦ Κ ὑπερέχειν, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ μὴ ὑπερέχειν·
왜냐하면 첫째 크기 A가 둘째 크기 B에 대하여 가지는 비는 셋째 크기 Γ가 넷째 크기 Δ에 대하여 가지는 비와 같고, 셋째 크기 Γ가 넷째 크기 Δ에 대하여 가지는 비는 다섯째 크기 E가 여섯째 크기 Z에 대하여 가지는 비보다 크다고 하자. 나는 첫째 크기 A가 둘째 크기 B에 대하여 가지는 비도 다섯째 크기 E가 여섯째 크기 Z에 대하여 가지는 비보다 클 것이라고 말한다. 왜냐하면 Γ, E의 어떤 같은 배수들이 있고, Δ, Z의 임의로 택한 다른 같은 배수들이 있어서, Γ의 배수는 Δ의 배수보다 크지만, E의 배수는 Z의 배수보다 크지 않기 때문이다. 그것들을 취하여, Γ, E의 같은 배수들을 H, Θ라 하고, Δ, Z의 임의로 택한 다른 같은 배수들을 K, Λ라 하자. 단 H는 K보다 크고, Θ는 Λ보다 크지 않도록 한다.
καὶ ὁσαπλάσιον μέν ἐστι τὸ Η τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Μ τοῦ Α, ὁσαπλάσιον δὲ τὸ Κ τοῦ Δ, τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Ν τοῦ Β.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Η, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ν, Κ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Μ τοῦ Ν, ὑπερέχει καὶ τὸ Η τοῦ Κ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
그리고 H가 Γ의 몇 배인 것과 마찬가지로 M도 A의 그만큼의 배수라 하고, K가 Δ의 몇 배인 것과 마찬가지로 N도 B의 그만큼의 배수라 하자. 그리고 A의 B에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같고, A, Γ의 같은 배수들인 M, H가 취해졌으며, B, Δ의 임의로 택한 다른 같은 배수들인 N, K가 취해졌으므로, 만일 M이 N보다 크다면 H도 K보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작다.
ὑπερέχει δὲ τὸ Η τοῦ Κ·
그런데 H는 K보다 크다.
ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ Μ τοῦ Ν. τὸ δὲ Θ τοῦ Λ οὐχ ὑπερέχει·
그러므로 M도 N보다 크다. 그런데 Θ는 축에 들지 않고 Λ보다 크지 않다.
καί ἐστι τὰ μὲν Μ, Θ τῶν Α, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Ν, Λ τῶν Β, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
그리고 M, Θ는 A, E의 같은 배수들이고, N, Λ는 B, Z의 임의로 택한 다른 같은 배수들이다.
τὸ ἄρα Α πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τρίτον δὲ πρὸς τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον, καὶ πρῶτον πρὸς δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον·
그러므로 A의 B에 대한 비는 E의 Z에 대한 비보다 크다. 그러므로 만일 첫째 크기가 둘째 크기에 대하여 가지는 비가 셋째 크기가 넷째 크기에 대하여 가지는 비와 같고, 셋째 크기가 넷째 크기에 대하여 가지는 비가 다섯째 크기가 여섯째 크기에 대하여 가지는 비보다 크다면, 첫째 크기가 둘째 크기에 대하여 가지는 비도 다섯째 크기가 여섯째 크기에 대하여 가지는 비보다 클 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§5.prop.14ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
만일 첫째 크기가 둘째 크기에 대하여 가지는 비가 셋째 크기가 넷째 크기에 대하여 가지는 비와 같고, 첫째 크기가 셋째 크기보다 크다면, 둘째 크기도 넷째 크기보다 클 것이며, 같으면 같고, 작으면 작을 것이다.
πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, μεῖζον δὲ ἔστω τὸ Α τοῦ Γ·
왜냐하면 첫째 크기 A가 둘째 크기 B에 대하여 가지는 비는 셋째 크기 Γ가 넷째 크기 Δ에 대하여 가지는 비와 같고, A는 Γ보다 크다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Β τοῦ Δ μεῖζόν ἐστιν.
나는 B도 Δ보다 크다고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζόν ἐστιν, ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ·
왜냐하면 A가 Γ보다 크고, B는 임의로 택한 다른 크기이므로, A의 B에 대한 비는 Γ의 B에 대한 비보다 크다. 그런데 A의 B에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같다.
καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν·
그러므로 Γ의 Δ에 대한 비도 Γ의 B에 대한 비보다 크다. 그런데 같은 크기가 더 큰 비를 가지는 대상은 더 작다.
ἔλασσον ἄρα τὸ Δ τοῦ Β·
그러므로 Δ는 B보다 작다.
ὥστε μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Δ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Β τῷ Δ, κἂν ἔλασσον ᾖ τὸ Α τοῦ Γ, ἔλασσον ἔσται καὶ τὸ Β τοῦ Δ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον·
따라서 B는 Δ보다 크다. 마찬가지로 만일 A가 Γ와 같으면 B도 Δ와 같을 것이고, 만일 A가 Γ보다 작으면 B도 Δ보다 작을 것임을 보일 수 있다. 그러므로 만일 첫째 크기가 둘째 크기에 대하여 가지는 비가 셋째 크기가 넷째 크기에 대하여 가지는 비와 같고, 첫째 크기가 셋째 크기보다 크다면, 둘째 크기도 넷째 크기보다 클 것이며, 같으면 같고, 작으면 작을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.