§5.prop.17ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται.
만일 합성된 크기들이 비례한다면, 분리된 크기들도 비례할 것이다.
ἔστω συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΒΕ, ΓΔ, ΔΖ, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ·
합성된 비례하는 크기들을 AB, BE, ΓΔ, ΔΖ라 하고, AB가 BE에 대하여 가지는 비는 ΓΔ가 ΔΖ에 대하여 가지는 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΔΖ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΗΘ, ΘΚ, ΛΜ, ΜΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΚΞ, ΝΠ.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ. ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ·
나는 분리된 크기들도 비례하여, AE가 EB에 대하여 가지는 비는 ΓΖ가 ΔΖ에 대하여 가지는 비와 같을 것이라고 말한다. 왜냐하면 AE, EB, ΓΖ, ΖΔ의 같은 배수들인 HΘ, ΘK, ΛM, MN을 취하고, EB, ΖΔ의 임의로 택한 다른 같은 배수들인 KΞ, NΠ를 취하자. 그리고 HΘ는 AE의 같은 배수이고 ΘK는 EB의 같은 배수이므로, HΘ는 AE의 같은 배수이고 HK는 AB의 같은 배수이다. 그런데 HΘ는 AE의 같은 배수이고 ΛM은 ΓΖ의 같은 배수이다.
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ. ἰσάκις δὲ ἦν πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ·
그러므로 HK는 AB의 같은 배수이고 ΛM은 ΓΖ의 같은 배수이다. 다시, ΛM은 ΓΖ의 같은 배수이고 MN은 ΖΔ의 같은 배수이므로, ΛM은 ΓΖ의 같은 배수이고 ΛN은 ΓΔ의 같은 배수이다. 그런데 ΛM은 ΓΖ의 같은 배수이고 HK는 AB의 같은 배수였다.
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ. τὰ ΗΚ, ΛΝ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια.
그러므로 HK는 AB의 같은 배수이고 ΛN은 ΓΔ의 같은 배수이다. 그러므로 HK, ΛN은 AB, ΓΔ의 같은 배수들이다.
πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΚΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΝΠ τοῦ ΖΔ, καὶ συντεθὲν τὸ ΘΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΜΠ τοῦ ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΗΚ, ΛΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΘΞ, ΜΠ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
다시, ΘK는 EB의 같은 배수이고 MN은 ΖΔ의 같은 배수이며, KΞ도 EB의 같은 배수이고 NΠ도 ΖΔ의 같은 배수이므로, 더해진 전체인 ΘΞ도 EB의 같은 배수이고 MΠ도 ΖΔ의 같은 배수이다. 그리고 AB가 BE에 대하여 가지는 비는 ΓΔ가 ΔΖ에 대하여 가지는 비와 같고, AB, ΓΔ의 같은 배수들인 HK, ΛN이 취해졌으며, EB, ΖΔ의 같은 배수들인 ΘΞ, MΠ가 취해졌으므로, 만일 HK가 ΘΞ보다 크다면 ΛN도 MΠ보다 클 것이며, 같으면 같고, 작으면 작을 것이다.
ὑπερεχέτω δὴ τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΘΚ ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ. ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερεῖχε καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ·
이제 HK가 ΘΞ보다 크다고 하자. 공통인 ΘK를 빼면, HΘ도 KΞ보다 크다. 그런데 만일 HK가 ΘΞ보다 크다면 ΛN도 MΠ보다 컸다.
ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΜΝ ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ·
그러므로 ΛN도 MΠ보다 크고, 공통인 MN을 빼면 ΛM도 NΠ보다 크다.
ὥστε εἰ ὑπερέχει τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ ΗΘ τῷ ΚΞ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΝΠ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
따라서 만일 HΘ가 KΞ보다 크다면, ΛM도 NΠ보다 크다. 마찬가지로 만일 HΘ가 KΞ와 같다면 ΛM도 NΠ와 같을 것이며, 작으면 작을 것임을 보일 수 있다.
καί ἐστι τὰ μὲν ΗΘ, ΛΜ τῶν ΑΕ, ΓΖ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ ΚΞ, ΝΠ τῶν ΕΒ, ΖΔ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
그리고 HΘ, ΛM은 AE, ΓΖ의 같은 배수들이고, KΞ, NΠ는 EB, ΖΔ의 임의로 택한 다른 같은 배수들이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ.
ἐὰν ἄρα συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται·
그러므로 AE가 EB에 대하여 가지는 비는 ΓΖ가 ΖΔ에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 만일 합성된 크기들이 비례한다면, 분리된 크기들도 비례할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§5.prop.18ἐὰν διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται.
만일 분리된 크기들이 비례한다면, 합성된 크기들도 비례할 것이다.
ἔστω διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ, ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ·
분리된 비례하는 크기들을 AE, EB, ΓΖ, ΖΔ라 하고, AE가 EB에 대하여 가지는 비는 ΓΖ가 ΖΔ에 대하여 가지는 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΔ.
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ, ἔσται ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΔΖ ἢ πρὸς μεῖζον.
나는 합성된 크기들도 비례하여, AB가 BE에 대하여 가지는 비는 ΓΔ가 ΖΔ에 대하여 가지는 비와 같을 것이라고 말한다. 왜냐하면 만일 AB가 BE에 대하여 가지는 비가 ΓΔ가 ΔΖ에 대하여 가지는 비와 같지 않다면, AB가 BE에 대하여 가지는 비는 ΓΔ가 ΔΖ보다 작은 어떤 크기에 대하여 가지는 비와 같거나, 혹은 큰 어떤 크기에 대하여 가지는 비와 같을 것이다.
ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ ΔΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΗ, συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν·
먼저, 더 작은 크기인 ΔH에 대하여 가지는 비와 같다고 하자. 그리고 AB가 BE에 대하여 가지는 비는 ΓΔ가 ΔH에 대하여 가지는 비와 같으므로, 합성된 크기들은 비례한다.
ὥστε καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται.
따라서 분리된 크기들도 비례할 것이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΗ πρὸς τὸ ΗΔ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΓΗ πρὸς τὸ ΗΔ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ. μεῖζον δὲ τὸ πρῶτον τὸ ΓΗ τοῦ τρίτου τοῦ ΓΖ·
그러므로 AE가 EB에 대하여 가지는 비는 ΓH가 HΔ에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 AE가 EB에 대하여 가지는 비는 ΓΖ가 ΖΔ에 대하여 가지는 비와 같다고도 가정되어 있다. 그러므로 ΓH가 HΔ에 대하여 가지는 비는 ΓΖ가 ΖΔ에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 첫째인 ΓH는 셋째인 ΓΖ보다 크다.
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ δεύτερον τὸ ΗΔ τοῦ τετάρτου τοῦ ΖΔ. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον·
그러므로 둘째인 HΔ도 넷째인 ΖΔ보다 크다. 그러나 또한 작기도 하다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
이것은 모순이다.
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΖΔ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖζον·
그러므로 AB가 BE에 대하여 가지는 비가 ΓΔ가 ΖΔ보다 작은 크기에 대하여 가지는 비와 같을 수는 없다. 마찬가지로 더 큰 크기에 대하여 가지는 비와 같을 수도 없음을 보일 수 있다.
πρὸς αὐτὸ ἄρα.
그러므로 그 자체에 대한 비와 같다.
ἐὰν ἄρα διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται·
그러므로 만일 분리된 크기들이 비례한다면, 합성된 크기들도 비례할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.