§4.prop.11εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
주어진 원에 등변이자 등각인 오각형을 내접시키는 것.
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ·
주어진 원을 ABΓΔE라 하자.
δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
원 ABΓΔE에 등변이자 등각인 오각형을 내접시켜야 한다.
Ἐκκείσθω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΖΗΘ διπλασίονα ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ γωνιῶν τῆς πρὸς τῷ Ζ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΓΔ, ὥστε τῇ μὲν πρὸς τῷ Ζ γωνίᾳ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΓΑΔ, ἑκατέραν δὲ τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ ἴσην ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ·
두 각 H, Θ 각각이 Z에서의 각의 두 배인 이등변삼각형 ZHΘ가 놓였다고 하자. 그리고 삼각형 ZHΘ와 등각인 삼각형 AΓΔ가 원 ABΓΔE에 내접되었다고 하자. 즉, Z에서의 각과 각 ΓAΔ가 같아지고, 두 각 H, Θ 각각이 두 각 AΓΔ, ΓΔA 각각과 같아지도록.
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ.
따라서 두 각 AΓΔ, ΓΔA 각각도 각 ΓAΔ의 두 배이다.
τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ,, ΔΕ, ΕΑ.
ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ γωνιῶν διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ, καὶ τετμημέναι εἰσὶ δίχα ὑπὸ τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΕ, ΕΓΔ, ΓΔΒ, ΒΔΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
이제 두 각 AΓΔ, ΓΔA 각각이 두 직선 ΓE, ΔB 각각에 의해 이등분되었다고 하자. 그리고 AB, BΓ,, ΔE, EA가 이어졌다고 하자. 그렇다면 두 각 AΓΔ, ΓΔA 각각이 각 ΓAΔ의 두 배이고, 그것들이 직선 ΓE, ΔB에 의해 이등분되어 있으므로, 따라서 다섯 각 ΔAΓ, AΓE, EΓΔ, ΓΔB, BΔA는 서로 같다.
αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν·
그런데 같은 각들은 같은 호 위에 선다.
αἱ πέντε ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
따라서 다섯 호 AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EA는 서로 같다.
ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν·
그리고 같은 호 아래에는 같은 직선이 마주 본다.
αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
따라서 다섯 직선 AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EA는 서로 같다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.
그러므로 오각형 ABΓΔE는 등변이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον.
또한 등각이기도 하다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΒΓΔ·
왜냐하면 호 AB가 호 ΔE와 같으므로 공통의 것으로 호 BΓΔ가 더해졌다고 하자.
ὅλη ἄρα ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση.
따라서 호 ABΓΔ 전체는 호 EΔΓB 전체와 같다.
καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΒΓΔ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΕ·
그리고 호 ABΓΔ 위에는 각 AEΔ가 서 있고, 호 EΔΓB 위에는 각 BAE가 서 있다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἐστιν ἴση.
따라서 각 BAE도 각 AEΔ와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ ἐστιν ἴση·
이와 같은 이유로 각 ABΓ, BΓΔ, ΓΔE 각각도 각 BAE, AEΔ 각각과 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.
그러므로 오각형 ABΓΔE는 등각이다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.
그리고 등변임도 증명되었다.
εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται·
그러므로 주어진 원에 등변이자 등각인 오각형이 내접되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.