§4.prop.13εἰς τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλον ἐγγράψαι.
주어진, 등변이자 등각인 오각형에 원을 내접시키는 것.
ἔστω τὸ δοθὲν πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ·
주어진 등변이자 등각인 오각형을 ABΓΔE라 하자.
δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
오각형 ABΓΔE에 원을 내접시켜야 한다.
τετμήσθω γὰρ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΖ, ΔΖ εὐθειῶν·
왜냐하면 각 BΓΔ, ΓΔE 각각이 직선 ΓZ, ΔZ 각각에 의해 이등분되었다고 하자.
καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου, καθʼ ὃ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις αἱ ΓΖ, ΔΖ εὐθεῖαι, ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ εὐθεῖαι.
그리고 직선 ΓZ, ΔZ가 서로 만나는 점 Z로부터 직선 ZB, ZA, ZE가 이어졌다고 하자.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΒΓ, ΓΖ δυσὶ ταῖς ΔΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσίν·
그리고 BΓ는 ΓΔ와 같고, ΓZ는 공통이므로, 두 변 BΓ, ΓZ는 두 변 ΔΓ, ΓZ와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ ἴση·
그리고 각 BΓZ는 각 ΔΓZ와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσει τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΒΓΖ τρίγωνον τῷ ΔΓΖ τριγώνῳ ἐστιν ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
그러므로 밑변 BZ는 밑변 ΔZ와 같고, 삼각형 BΓZ는 삼각형 ΔΓZ와 같다. 그리고 남은 각들도 남은 각들과 각각 같을 것인데, 이들은 같은 변들이 마주 보는 각들이다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΖ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῆς ὑπὸ ΓΔΖ, ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΖ, καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΒΖ ἐστι διπλῆ·
따라서 각 ΓBZ는 각 ΓΔZ와 같다. 그리고 각 ΓΔE는 각 ΓΔZ의 두 배이고, 각 ΓΔE는 각 ABΓ와 같으며, 각 ΓΔZ는 각 ΓBZ와 같으므로, 따라서 각 ΓBA도 각 ΓBZ의 두 배이다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΓ·
그러므로 각 ABZ는 각 ZBΓ와 같다.
ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΖ εὐθείας.
따라서 각 ABΓ는 직선 BZ에 의해 이등분된다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ δίχα τέτμηται ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΖΑ, ΖΕ εὐθειῶν.
마찬가지로 각 BAE, AEΔ 각각도 직선 ZA, ZE 각각에 의해 이등분됨이 증명될 것이다.
ἤχθωσαν δὴ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθείας κάθετοι αἱ ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, ΖΛ, ΖΜ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΓΖ, ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΘΓ τῇ ὑπὸ ΖΚΓ ἴση, δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΖΘΓ, ΖΚΓ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΖΓ ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν·
그러면 점 Z로부터 직선 AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EA로 수선 ZH, ZΘ, ZK, ZΛ, ZM이 그려졌다고 하자. 그리고 각 ΘΓZ는 각 KΓZ와 같고, 또한 직각인 각 ZΘΓ도 각 ZKΓ와 같으므로, 두 삼각형 ZΘΓ, ZKΓ는 두 각이 두 각과 각각 같고, 한 변이 한 변과 같으니, 그들의 공통인 변 ZΓ이며, 이는 같은 각들 중 하나와 마주 보고 있다.
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει·
따라서 남은 변들도 남은 변들과 각각 같을 것이다.
ἴση ἄρα ἡ ΖΘ κάθετος τῇ ΖΚ καθέτῳ.
그러므로 수선 ZΘ는 수선 ZK와 같다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΖΛ, ΖΜ, ΖΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΘ, ΖΚ ἴση ἐστίν·
마찬가지로 ZΛ, ZM, ZH 각각도 ZΘ, ZK 각각과 같음이 증명될 것이다.
αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, ΖΛ, ΖΜ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
그러므로 다섯 직선 ZH, ZΘ, ZK, ZΛ, ZM은 서로 같다.
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Η, Θ, Κ, Λ, Μ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Η, Θ, Κ, Λ, Μ σημείοις γωνίας.
그러므로 중심 Z, 그리고 H, Θ, K, Λ, M 중 하나로의 거리로 그려지는 원은 남은 점들도 지나며, 직선 AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EA에 접할 것이다. 왜냐하면 H, Θ, K, Λ, M 점들에서의 각들이 직각이기 때문이다.
εἰ γὰρ οὐκ ἐφάψεται αὐτῶν, ἀλλὰ τεμεῖ αὐτάς, συμβήσεται τὴν τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένην ἐντὸς πίπτειν τοῦ κύκλου· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.
왜냐하면 만약 그것들에 접하지 않고 그것들을 자른다면, 원의 지름에 대해 끝점으로부터 직각으로 그려진 직선이 원의 안쪽으로 떨어지게 될 것인데, 이는 불합리하다고 증명되었기 때문이다.
οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν η, Θ, Κ, Λ, Μ σημείων γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθείας·
그러므로 중심 Z, 그리고 H, Θ, K, Λ, M 점들 중 하나로의 거리로 그려지는 원은 직선 AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EA를 자르지 않을 것이다.
ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν.
따라서 그것들에 접할 것이다.
γεγράφθω ὡς ὁ ΗΘΚΛΜ.
εἰς ἄρα τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλος ἐγγέγραπται·
그것을 ΗΘΚΛΜ으로 그리자. 그러므로 주어진, 등변이자 등각인 오각형에 원이 내접되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.
§4.prop.14περὶ τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλον περιγράψαι.
주어진, 등변이자 등각인 오각형에 원을 외접시키는 것.
ἔστω τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, τὸ ΑΒΓΔΕ·
주어진, 등변이자 등각인 오각형을 ABΓΔE라 하자.
δεῖ δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλον περιγράψαι.
오각형 ABΓΔE에 원을 외접시켜야 한다.
τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΖ, ΔΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου, καθʼ ὃ συμβάλλουσιν αἱ εὐθεῖαι, ἐπὶ τὰ Β, Α, Ε σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ. ὁμοίως δὴ τῷ πρὸ τούτου δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΒΑΕ, ΑΕΔ γωνιῶν δίχα τέτμηται ὑπὸ ἑκάστης τῶν ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ εὐθειῶν.
그러면 각 BΓΔ, ΓΔE 각각이 ΓZ, ΔZ 각각에 의해 이등분되었다고 하자. 그리고 그 직선들이 만나는 점 Z로부터 점 B, A, E로 직선 ZB, ZA, ZE가 이어졌다고 하자. 이것 이전의 것과 마찬가지로 각 ΓBA, BAE, AEΔ 각각도 직선 ZB, ZA, ZE 각각에 의해 이등분됨이 증명될 것이다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΕ, καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΒΓΔ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΖΓΔ, τῆς δὲ ὑπὸ ΓΔΕ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΓΔΖ, καὶ ἡ ὑπὸ ΖΓΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστιν ἴση·
그리고 각 BΓΔ는 각 ΓΔE와 같고, 각 BΓΔ의 절반은 각 ZΓΔ이며, 각 ΓΔE의 절반은 각 ΓΔZ이므로, 따라서 각 ZΓΔ도 각 ZΔΓ와 같다.
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΖΓ πλευρᾷ τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση.
그러므로 변 ZΓ도 변 ZΔ와 같다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΓ, ΖΔ ἐστιν ἴση·
마찬가지로 ZB, ZA, ZE 각각도 ZΓ, ZΔ 각각과 같음이 증명될 것이다.
αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
그러므로 다섯 직선 ZA, ZB, ZΓ, ZΔ, ZE는 서로 같다.
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται περιγεγραμμένος.
그러므로 중심 Z, 그리고 ZA, ZB, ZΓ, ZΔ, ZE 중 하나로의 거리로 그려지는 원은 남은 점들도 지나며 외접할 것이다.
περιγεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΑΒΓΔΕ.
περὶ ἄρα τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλος περιγέγραπται·
외접하게 그리고 그것을 ABΓΔE라 하자. 그러므로 주어진, 등변이자 등각인 오각형에 원이 외접되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.