§3.prop.31ἐν κύκλῳ ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι τμήματι μείζων ὀρθῆς·
원 안에서, 반원 안의 각은 직각이고, 큰 활꼴 안의 각은 직각보다 작으며, 작은 활꼴 안의 각은 직각보다 크다.
καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία μείζων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία ἐλάττων ὀρθῆς.
나아가 큰 활꼴의 각은 직각보다 크고, 작은 활꼴의 각은 직각보다 작다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΒΓ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ, ΑΓ, ΑΔ, ΔΓ·
원 ΑΒΓΔ가 있다 하고, 그것의 지름을 ΒΓ, 중심을 Ε라 하자, 그리고 ΒΑ, ΑΓ, ΑΔ, ΔΓ가 연결되었다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ μὲν ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΓ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.
나는 반원 ΒΑΓ 안의 각 ΒΑΓ는 직각이고, 반원보다 큰 활꼴 ΑΒΓ 안의 각 ΑΒΓ는 직각보다 작으며, 반원보다 작은 활꼴 ΑΔΓ 안의 각 ΑΔΓ는 직각보다 크다고 주장한다.
ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ ΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΓΑΕ·
ΑΕ가 연결되었다고 하고, ΒΑ가 Ζ까지 연장되었다고 하자. 그리고 ΒΕ는 ΕΑ와 같으므로, 각 ΑΒΕ 역시 각 ΒΑΕ와 같다. 다시, ΓΕ는 ΕΑ와 같으므로, 각 ΑΓΕ 역시 각 ΓΑΕ와 같다.
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν.
그러므로 전체 각 ΒΑΓ는 두 각 ΑΒΓ, ΑΓΒ의 합과 같다.
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαις ἴση·
그런데 삼각형 ΑΒΓ의 외각인 각 ΖΑΓ 역시 두 각 ΑΒΓ, ΑΓΒ의 합과 같다.
ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΓ·
그러므로 각 ΒΑΓ 역시 각 ΖΑΓ와 같다.
ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα·
그러므로 둘 다 직각이다.
ἡ ἄρα ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν.
그러므로 반원 ΒΑΓ 안의 각 ΒΑΓ는 직각이다.
καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐλάττων ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία·
그리고 삼각형 ΑΒΓ의 두 각 ΑΒΓ, ΒΑΓ는 두 직각보다 작고, 각 ΒΑΓ는 직각이므로, 각 ΑΒΓ는 직각보다 작다.
καί ἐστιν ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι.
그리고 그것은 반원보다 큰 활꼴 ΑΒΓ 안에 있다.
καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, τῶν δὲ ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, καί ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων ὀρθῆς·
그리고 원 안의 사각형은 ΑΒΓΔ이며, 원에 내접하는 사각형들의 대각들은 두 직각과 같고, 각 ΑΒΓ는 직각보다 작으므로, 남은 각 ΑΔΓ는 직각보다 크다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία μείζων ὀρθῆς ἐστιν· καί ἐστιν ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι.
그리고 그것은 반원보다 작은 활꼴 ΑΔΓ 안에 있다.
λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τῆς ΑΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας μείζων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τῆς ΑΔ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς.
나는 큰 활꼴의 각, 곧 호 ΑΒΓ와 직선 ΑΓ에 의해 둘러싸인 각 역시 직각보다 크고, 작은 활꼴의 각, 곧 호 ΑΔ와 직선 ΑΓ에 의해 둘러싸인 각은 직각보다 작다고 주장한다.
καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν.
그리고 이것은 그 자체로 분명하다.
ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΑΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας περιεχομένη μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.
왜냐하면 직선 ΒΑ, ΑΓ에 의한 각이 직각이므로, 호 ΑΒΓ와 직선 ΑΓ에 의해 둘러싸인 각은 직각보다 크기 때문이다.
πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΑΖ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΓΑ εὐθείας καὶ τῆς ΑΔ περιφερείας περιεχομένη ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς.
다시, 직선 ΑΓ, ΑΖ에 의한 각이 직각이므로, 직선 ΓΑ와 호 ΑΔ에 의해 둘러싸인 각은 직각보다 작다.
ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι μείζων ὀρθῆς, καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος μείζων ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος ἐλάττων ὀρθῆς·
그러므로 원 안에서, 반원 안의 각은 직각이고, 큰 활꼴 안의 각은 직각보다 작으며, 작은 활꼴 안의 각은 직각보다 크다. 나아가 큰 활꼴의 각은 직각보다 크고, 작은 활꼴의 각은 직각보다 작다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.