§3.prop.33ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
주어진 직선 위에, 주어진 직선각과 같은 각을 품는 원의 활꼴을 그리기.
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Γ·
주어진 직선을 ΑΒ라 하고, 주어진 직선각을 Γ에 있는 각이라 하자.
δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ.
ἡ δὴ πρὸς τῷ Γ ἤτοι ὀξεῖά ἐστιν ἢ ὀρθὴ ἢ ἀμβλεῖα·
그러면 주어진 직선 ΑΒ 위에, Γ에 있는 각과 같은 각을 품는 원의 활꼴을 그려야 한다. 이제 Γ에 있는 각은 예각이거나 직각이거나 둔각이다.
ἔστω πρότερον ὀξεῖα, καὶ ὡς ἐπὶ τῆς πρώτης καταγραφῆς συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ α σημείῳ τῇ πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ·
우선 예각이라 하고, 첫 번째 그림에서처럼 직선 ΑΒ와 점 Α에서, Γ에 있는 각과 같은 각 ΒΑΔ가 만들어졌다고 하자.
ὀξεῖα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ. ἤχθω τῇ ΔΑ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΒ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΗ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, ΖΗ δύο ταῖς ΒΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσίν·
그러므로 각 ΒΑΔ 역시 예각이다. ΔΑ에 수직으로 ΑΕ가 그려졌다고 하고, ΑΒ가 점 Ζ에서 이등분되었다고 하며, 점 Ζ로부터 ΑΒ에 수직으로 ΖΗ가 그려졌다고 하고, ΗΒ가 연결되었다고 하자. 그리고 ΑΖ는 ΖΒ와 같고, ΖΗ는 공통이므로, 두 직선 ΑΖ, ΖΗ는 두 직선 ΒΖ, ΖΗ와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΗ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση·
그리고 각 ΑΖΗ는 각 ΒΖΗ와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν.
그러므로 밑변 ΑΗ는 밑변 ΒΗ와 같다.
ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β. γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΑΒΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ. ἐπεὶ οὖν ἀπʼ ἄκρας τῆς ΑΕ διαμέτρου ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΔ, ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΕ κύκλου·
그러므로 중심이 Η이고 반지름이 ΗΑ인 원을 그리면 점 Β도 지날 것이다. 그것이 그려졌다고 하고, 원 ΑΒΕ라 하자. 그리고 ΕΒ가 연결되었다고 하자. 이제 지름 ΑΕ의 한쪽 끝인 Α로부터 ΑΕ에 수직으로 ΑΔ가 있으므로, ΑΔ는 원 ΑΒΕ에 접한다.
ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΕ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΔ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἁφῆς εἰς τὸν ΑΒΕ κύκλον διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ πρὸς τῷ Γ ἐστιν ἴση·
그러므로 원 ΑΒΕ에 어떤 직선 ΑΔ가 접하고, 접점 Α로부터 원 ΑΒΕ 안으로 어떤 직선 ΑΒ가 그려졌으므로, 각 ΔΑΒ는 원의 교대하는 활꼴 안의 각인 각 ΑΕΒ와 같다. 그런데 각 ΔΑΒ는 Γ에 있는 각과 같다.
καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ.
ἐπὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τμῆμα κύκλου γέγραπται τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΕΒ ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ πρὸς τῷ Γ.
ἀλλὰ δὴ ὀρθὴ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Γ·
그러므로 Γ에 있는 각 역시 각 ΑΕΒ와 같다. 그러므로 주어진 직선 ΑΒ 위에, 주어진 Γ에 있는 각과 같은 각 ΑΕΒ를 품는 원의 활꼴 ΑΕΒ가 그려졌다. ¦35 다음으로, Γ에 있는 각이 직각이라 하자.
καὶ δέον πάλιν ἔστω ἐπὶ τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ ὀρθῇ.
그리고 다시 ΑΒ 위에, Γ에 있는 직각과 같은 각을 품는 원의 활꼴을 그리는 것이 요구된다고 하자.
συνεστάτω τῇ πρὸς τῷ Γ ὀρθῇ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ κέντρῳ τῷ Ζ, διαστήματι δὲ ὁποτέρῳ τῶν ΖΑ, ΖΒ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΕΒ.
ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΑΔ εὐθεῖα τοῦ ΑΒΕ κύκλου διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν.
두 번째 그림에서처럼, Γ에 있는 직각과 같은 각 ΒΑΔ가 만들어졌다고 하고, ΑΒ가 점 Ζ에서 이등분되었다고 하며, Ζ를 중심으로 하고 ΖΑ, ΖΒ 중 어느 하나를 반지름으로 하여 원 ΑΕΒ가 그려졌다고 하자. 그러면 직선 ΑΔ는 원 ΑΒΕ에 접한다. 왜냐하면 Α에 있는 각이 직각이기 때문이다.
καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ ἐν τῷ ΑΕΒ τμήματι·
그리고 각 ΒΑΔ는 활꼴 ΑΕΒ 안의 각과 같다.
ὀρθὴ γὰρ καὶ αὐτὴ ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα.
왜냐하면 그것 역시 반원 안에 있어서 직각이기 때문이다.
ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστίν.
그런데 각 ΒΑΔ는 Γ에 있는 각과도 같다.
καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΕΒ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γ.
γέγραπται ἄρα πάλιν ἐπὶ τῆς ΑΒ τμῆμα κύκλου τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ.
ἀλλὰ δὴ ἡ πρὸς τῷ Γ ἀμβλεῖα ἔστω·
그러므로 활꼴 ΑΕΒ 안의 각 역시 Γ에 있는 각과 같다. 그러므로 다시 ΑΒ 위에, Γ에 있는 각과 같은 각을 품는 원의 활꼴 ΑΕΒ가 그려졌다. 다음으로, Γ에 있는 각이 둔각이라 하자.
καὶ συνεστάτω αὐτῇ ἴση πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, καὶ τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΕ, καὶ τετμήσθω πάλιν ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΒ.
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΖΗ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, ΖΗ δύο ταῖς ΒΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσίν·
그리고 세 번째 그림에서처럼, 직선 ΑΒ 와 점 Α에서 그것과 같은 각 ΒΑΔ가 만들어졌다고 하고, ΑΔ에 수직으로 ΑΕ가 그려졌다고 하며, 다시 ΑΒ가 점 Ζ에서 이등분되었다고 하고, ΑΒ에 수직으로 ΖΗ가 그려졌다고 하며, ΗΒ가 연결되었다고 하자. 그리고 다시 ΑΖ는 ΖΒ와 같고, ΖΗ는 공통이므로, 두 직선 ΑΖ, ΖΗ는 두 직선 ΒΖ, ΖΗ와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση·
그리고 각 ΑΖΗ는 각 ΒΖΗ와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν·
그러므로 밑변 ΑΗ는 밑변 ΒΗ와 같다.
ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ η διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β. ἐρχέσθω ὡς ὁ ΑΕΒ. καὶ ἐπεὶ τῇ ΑΕ διαμέτρῳ ἀπʼ ἄκρας πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΔ, ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΕΒ κύκλου.
그러므로 중심이 Η이고 반지름이 ΗΑ인 원을 그리면 점 Β도 지날 것이다. 그것이 원 ΑΕΒ처럼 지나간다고 하자. 그리고 지름 ΑΕ의 끝에서 ΑΔ가 수직이므로, ΑΔ는 원 ΑΕΒ에 접한다.
καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΑΒ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΑΘΒ συνισταμένῃ γωνίᾳ.
그리고 점 Α에서의 접점으로부터 ΑΒ가 그려졌으므로, 각 ΒΑΔ는 원의 교대하는 활꼴인 ΑΘΒ 안에 만들어진 각과 같다.
ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστίν.
그런데 각 ΒΑΔ는 Γ에 있는 각과 같다.
καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΘΒ ἄρα τμήματι γωνία ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γ.
ἐπὶ τῆς ἄρα δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ γέγραπται τμῆμα κύκλου τὸ ΑΘΒ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ·
그러므로 활꼴 ΑΘΒ 안의 각 역시 Γ에 있는 각과 같다. 그러므로 주어진 직선 ΑΒ 위에, Γ에 있는 각과 같은 각을 품는 원의 활꼴 ΑΘΒ가 그려졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 바이다.