§2.prop.5ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ.
만약 어떤 직선이 같은 부분들과 같지 않은 부분들로 분할된다면, 전체 직선의 같지 않은 선분들에 의해 둘러싸인 직사각형에 분할점들 사이의 선분 상에 그려진 정사각형을 더한 것은 절반의 선분 상에 그려진 정사각형과 같다.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ·
왜냐하면 어떤 직선 AB가 C점에서는 같은 부분들로, D점에서는 같지 않은 부분들로 분할되어 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ.
나는 말한다, AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형에 CD 상에 그려진 정사각형을 더한 것은 CB 상에 그려진 정사각형과 같다.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ ὁποτέρᾳ τῶν ΓΕ, ΒΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΗ, διὰ δὲ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ παράλληλος πάλιν ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ πάλιν διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ, ΒΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ παραπλήρωμα τῷ ΘΖ παραπληρώματι, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΔΜ·
왜냐하면 CB 상에 정사각형 CEZB가 그려지고, BE가 연결되며, D를 지나 CE, BZ 중 어느 하나에 평행하게 DH가 그어지고, Q를 지나 AB, EZ 중 어느 하나에 평행하게 다시 KM이 그어지며, 다시 A를 지나 CL, BM 중 어느 하나에 평행하게 AK가 그어졌다고 하자. 그리고 보형 CQ는 보형 QZ와 같으므로, 공통인 DM이 더해졌다고 하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΓΜ ὅλῳ τῷ ΔΖ ἴσον ἐστίν.
그러므로 전체 CM은 전체 DZ와 같다.
ἀλλὰ τὸ ΓΜ τῷ ΑΛ ἴσον ἐστίν, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ ἐστιν ἴση·
그러나 CM은 AL과 같다, 왜냐하면 AC 역시 GB와 같기 때문이다.
καὶ τὸ ΑΛ ἄρα τῷ ΔΖ ἴσον ἐστίν.
그러므로 AL 또한 DZ와 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΘ·
공통인 CQ가 더해졌다고 하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΑΘ τῷ ΜΝΞ γνώμονι ἴσον ἐστίν.
그러므로 전체 AQ는 그노몬 MNX와 같다.
ἀλλὰ τὸ ΑΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ ΔΘ τῇ ΔΒ·
그러나 AQ는 AD, DB에 의한 직사각형이다, 왜냐하면 DQ가 DB와 같기 때문이다.
καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΛΗ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ·
그러므로 그노몬 MNX 또한 AD, DB에 의한 직사각형과 같다. 공통인 LH가 더해졌다고 하자. 이것은 CD 상에 그려진 정사각형과 같다.
ὁ ἄρα ΜΝΞ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ἴσα ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.
그러므로 그노몬 MNX와 LH의 합은 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형과 CD 상에 그려진 정사각형의 합과 같다.
ἀλλὰ ὁ ΜΝΞ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΒ τετράγωνον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΒ·
그러나 그노몬 MNX와 LH는 전체 정사각형 CEZB이며, 그것은 CB 상에 그려진 것이다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ.
그러므로 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형에 CD 상에 그려진 정사각형을 더한 것은 CB 상에 그려진 정사각형과 같다.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ·
그러므로 만약 어떤 직선이 같은 부분들과 같지 않은 부분들로 분할된다면, 전체 직선의 같지 않은 선분들에 의해 둘러싸인 직사각형에 분할점들 사이의 선분 상에 그려진 정사각형을 더한 것은 절반의 선분 상에 그려진 정사각형과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.