§2.prop.8ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ τετράκις ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ.
만약 어떤 직선이 임의로 분할된다면, 전체 직선과 분할된 선분들 중 하나에 의해 둘러싸인 직사각형의 네 배에 남은 선분 상에 그려진 정사각형을 더한 것은, 전체 직선과 앞서 말한 선분을 합하여 하나의 직선으로 하여 그려진 정사각형과 같다.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ σημεῖον·
왜냐하면 어떤 직선 AB가 임의로 C점에서 분할되어 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, ΒΓ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ.
나는 말한다, AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형의 네 배에 AC 상에 그려진 정사각형을 더한 것은 AB, BC를 하나의 직선으로 하여 그려진 정사각형과 같다.
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΔ, καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΔ τετράγωνον τὸ ΑΕΖΔ, καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα.
왜냐하면 BD가 직선상으로 연장되고, BD는 CB와 같게 놓이며, AD 상에 정사각형 AEZD가 그려지고, 도형이 이중으로 그려졌다고 하자.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ ἡ μὲν ΓΒ τῇ ΗΚ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΒΔ τῇ ΚΝ, καὶ ἡ ΗΚ ἄρα τῇ ΚΝ ἐστιν ἴση.
그러므로 CB가 BD와 같고, 한편 CB는 HK와 같고, BD는 KN과 같으므로, HK 또한 KN과 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΡ τῇ ΡΟ ἐστιν ἴση.
바로 같은 이유로 PR 또한 RO와 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΔ, ἡ δὲ ΗΚ τῇ ΚΝ, ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ μὲν ΓΚ τῷ ΚΔ, τὸ δὲ ΗΡ τῷ ΡΝ. ἀλλὰ τὸ ΓΚ τῷ ΡΝ ἐστιν ἴσον·
그리고 BC가 BD와 같고, HK가 KN과 같으므로, GK 또한 KD와 같고, HR은 RN과 같다.
παραπληρώματα γὰρ τοῦ ΓΟ παραλληλογράμμου·
그러나 GK는 RN과 같다, 왜냐하면 평행사변형 GO의 여형이기 때문이다.
καὶ τὸ ΚΔ ἄρα τῷ ΗΡ ἴσον ἐστίν·
그러므로 KD 또한 HR과 같다.
τὰ τέσσαρα ἄρα τὰ ΔΚ, ΓΚ, ΗΡ, ΡΝ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
그러므로 DK, GK, HR, RN의 네 영역은 서로 같다.
τὰ τέσσαρα ἄρα τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ΓΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ ἡ μὲν ΒΔ τῇ ΒΚ, τουτέστι τῇ ΓΗ ἴση, ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΗΚ, τουτέστι τῇ ΗΠ, ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῇ ΗΠ ἴση ἐστίν.
그러므로 이 네 영역은 GK의 네 배이다. 다시, CB가 BD와 같고, 한편 BD는 BK(즉 GH)와 같고, CB는 HK(즉 HP)와 같으므로, GH 또한 HP와 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΓΗ τῇ ΗΠ, ἡ δὲ ΠΡ τῇ ΡΟ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ ΜΠ, τὸ δὲ ΠΛ τῷ ΡΖ. ἀλλὰ τὸ ΜΠ τῷ ΠΛ ἐστιν ἴσον·
그리고 GH가 HP와 같고, PR이 RO와 같으므로, AH 또한 MP와 같고, PL은 RZ와 같다.
παραπληρώματα γὰρ τοῦ ΜΛ παραλληλογράμμου·
그러나 MP는 PL과 같다, 왜냐하면 평행사변형 ML의 여형이기 때문이다.
καὶ τὸ ΑΗ ἄρα τῷ ΡΖ ἴσον ἐστίν·
그러므로 AH 또한 RZ와 같다.
τὰ τέσσαρα ἄρα τὰ ΑΗ, ΜΠ, ΠΛ, ΡΖ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
그러므로 AH, MP, PL, RZ의 네 영역은 서로 같다.
τὰ τέσσαρα ἄρα τοῦ ΑΗ ἐστι τετραπλάσια.
그러므로 이 네 영역은 AH의 네 배이다.
ἐδείχθη δὲ καὶ τὰ τέσσαρα τὰ ΓΚ, ΚΔ, ΗΡ, ΡΝ τοῦ ΓΚ τετραπλάσια·
그런데 GK, KD, HR, RN의 네 영역 또한 GK의 네 배라고 증명되었다.
τὰ ἄρα ὀκτώ, ἃ περιέχει τὸν ΣΤΥ γνώμονα, τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΚ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ ΒΚ τῇ ΒΔ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΚ. ἐδείχθη δὲ τοῦ ΑΚ τετραπλάσιος καὶ ὁ ΣΤΥ γνώμων·
그러므로 그노몬 STY를 둘러싸는 이 여덟 영역은 AK의 네 배이다. 그리고 AK는 AB, BD에 의한 직사각형이므로(왜냐하면 BK가 BD와 같기 때문이다), 그러므로 AB, BD에 의한 직사각형의 네 배는 AK의 네 배이다. 또한 그노몬 STY 역시 AK의 네 배라고 증명되었다.
τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤΥ γνώμονι.
그러므로 AB, BD에 의한 직사각형의 네 배는 그노몬 STY와 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΘ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ·
공통인 XQ가 더해졌다고 하자. 이것은 AC 상에 그려진 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤΥ γνώμονι καὶ τῷ ΞΘ. ἀλλὰ ὁ ΣΤΥ γνώμων καὶ τὸ ΞΘ ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΕΖΔ τετράγωνον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΔ·
그러므로 AB, BD에 의해 둘러싸인 직사각형의 네 배에 AC 상에 그려진 정사각형을 더한 것은 그노몬 STY와 XQ의 합과 같다. 그러나 그노몬 STY와 XQ는 전체 정사각형 AEZD이며, 이것은 AD 상에 그려진 것이다.
τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ·
그러므로 AB, BD에 의한 직사각형의 네 배에 AC 상에 그려진 정사각형을 더한 것은 AD 상에 그려진 정사각형과 같다.
ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΒΓ. τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ καὶ ΒΓ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ.
그리고 BD는 BC와 같다. 그러므로 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형의 네 배에 AC 상에 그려진 정사각형을 더한 것은 AD 상에 그려진 정사각형, 즉 AB와 BC를 합하여 하나의 직선으로 하여 그려진 정사각형과 같다.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ τετράκις ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ·
만약 어떤 직선이 임의로 분할된다면, 전체 직선과 분할된 선분들 중 하나에 의해 둘러싸인 직사각형의 네 배에 남은 선분 상에 그려진 정사각형을 더한 것은, 전체 직선과 앞서 말한 선분을 합하여 하나의 직선으로 하여 그려진 정사각형과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.