§13.prop.16#1εἰκοσάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.
정이십면체를 구성하고 앞서 언급한 입체들의 경우와 같이 구로 둘러싸는 것, 그리고 정이십면체의 한 변이 소위 '더 작은 것'이라 불리는 무리선임을 보여주는 것.
Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε τετραπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΕΖΗΘΚ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἔστω τῇ ΔΒ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΖΗΘΚ, καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Λ, Μ, Ν, Ξ, Ο σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΜ, ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ, ΕΟ. ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜΝΞΟ πεντάγωνον, καὶ δεκαγώνου ἡ ΕΟ εὐθεῖα.
주어진 구의 지름 AB가 놓여 있다고 하고, AC가 GB의 4배가 되도록 C에서 나누어지게 하라. 그리고 AB 위에 반원 ADB가 그려지게 하고, C로부터 AB에 직각으로 직선 GD가 그어지게 하고, DB가 연결되게 하라. 그리고 그 반지름이 DB와 같은 원 EZHThK가 놓여 있다고 하고, 원 EZHThK에 등변이자 등각인 오각형 EZHThK가 내접하게 하라. 그리고 호 EZ, ZH, HTh, ThK, KE가 점 L, M, N, Xi, O에서 이등분되게 하라. 그리고 LM, MN, NXi, XiO, OL, EO가 연결되게 하라. 그러므로 오각형 LMNOXi도 등변이며, 직선 EO는 십각형의 한 변이다.
καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ, Κ σημείων τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι αἱ ΕΠ, ΖΡ, ΗΣ, ΘΤ, ΚΥ ἴσαι οὖσαι τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΠ, ΠΛ, ΛΡ, ΡΜ, ΜΣ, ΣΝ, ΝΤ, ΤΞ, ΞΥ, ΥΟ, ΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΕΠ, ΚΥ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΠ τῇ ΚΥ. ἔστι δὲ αὐτῇ καὶ ἴση·
그리고 점 E, Z, H, Th, K로부터 원의 평면에 직각으로 원 EZHThK의 반지름과 같은 직선 EP, ZR, HS, TT, KY가 세워지게 하라. 그리고 PR, RS, ST, TY, YP, PL, LR, RM, MS, SN, NT, TXi, XiY, YO, OP가 연결되게 하라. 그리고 EP, KY 각각은 같은 평면에 직각이므로, 그러므로 EP는 KY에 평행하다. 그리고 그것은 이것과 같기도 하다.
αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπιζευγνύουσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
그리고 같고 평행한 직선들을 같은 방향으로 연결하는 직선들은 같고 평행하다.
ἡ ΠΥ ἄρα τῇ ΕΚ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν.
그러므로 PY는 EK와 같고 평행하다.
πενταγώνου δὲ ἰσοπλεύρου ἡ ΕΚ·
그런데 EK는 등변오각형의 한 변이다.
πενταγώνου ἄρα ἰσοπλεύρου καὶ ἡ ΠΥ τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου.
그러므로 PY도 원 EZHThK에 내접하는 등변오각형의 한 변이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ πενταγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου·
같은 이유로 PR, RS, ST, TY 각각도 원 EZHThK에 내접하는 등변오각형의 한 변이다.
ἰσόπλευρον ἄρα τὸ ΠΡΣΤΥ πεντάγωνον.
그러므로 오각형 PRSTY는 등변이다.
καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΕ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΕΟ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΠΕΟ, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΟ·
그리고 PE는 육각형의 한 변이고, EO는 십각형의 한 변이며, 각 PEO는 직각이므로, 그러므로 PO는 오각형의 한 변이다.
ἡ γὰρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.
왜냐하면 같은 원에 내접하는 오각형의 한 변은 제곱에 있어서 육각형의 한 변과 십각형의 한 변의 합과 같기 때문이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΟΥ πενταγώνου ἐστὶ πλευρά.
같은 이유로 OY도 오각형의 한 변이다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πενταγώνου·
그리고 PY도 오각형의 한 변이다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΟΥ τρίγωνον.
그러므로 삼각형 POY는 정삼각형이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΠΛΡ, ΡΜΣ, ΣΝΤ, ΤΞΥ ἰσόπλευρόν ἐστιν.
같은 이유로 PLR, RMS, SNT, TXiY 각각도 정삼각형이다.
καὶ ἐπεὶ πενταγώνου ἐδείχθη ἑκατέρα τῶν ΠΛ, ΠΟ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΟ πενταγώνου, ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΛΟ τρίγωνον.
그리고 PL, PO 각각이 오각형의 한 변임이 증명되었고, LO도 오각형의 한 변이므로, 그러므로 삼각형 PLO는 정삼각형이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΛΡΜ, ΜΣΝ, ΝΤΞ, ΞΥΟ τριγώνων ἰσόπλευρόν ἐστιν.
같은 이유로 삼각형 LRM, MSN, NTXi, XiYO 각각도 정삼각형이다.
εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΕΖΗ ΘΚ κύκλου τὸ Φ σημεῖον·
원 EZHThK의 중심으로 점 Phi가 선택되게 하라.
καὶ ἀπὸ τοῦ Φ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ ΦΩ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ὡς ἡ ΦΨ, καὶ ἀφῃρήσθω ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἑκατέρα τῶν ΦΨ, ΧΩ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΩ, ΠΧ, ΥΩ, ΕΦ, ΛΦ, ΛΨ, ΨΜ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΦΧ, ΠΕ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΧ τῇ ΠΕ. εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι·
그리고 Phi로부터 원의 평면에 직각으로 PhiOmega가 세워지게 하라. 그리고 그것은 다른 쪽 방향으로 PhiPsi로 연장되게 하라. 그리고 PhiChi는 육각형의 한 변, PhiPsi, ChiOmega 각각은 십각형의 한 변으로 잘려 나가게 하라. 그리고 POmega, PChi, YOmega, EPhi, LPhi, LPsi, PsiM이 연결되게 하라. 그리고 PhiChi, PE 각각은 원의 평면에 직각이므로, 그러므로 PhiChi는 PE에 평행하다. 그리고 그것들은 같기도 하다.
καὶ αἱ ΕΦ, ΠΧ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
그러므로 EPhi, PChi도 같고 평행하다.
ἑξαγώνου δὲ ἡ ΕΦ·
그런데 EPhi는 육각형의 한 변이다.
ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΠΧ. καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΠΧΩ γωνία, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΩ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΥΩ πενταγώνου ἐστίν, ἐπειδήπερ, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰς ΦΚ, ΧΥ, ἴσαι καὶ ἀπεναντίον ἔσονται, καί ἐστιν ἡ ΦΚ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα ἑξαγώνου·
그러므로 PChi도 육각형의 한 변이다. 그리고 PChi는 육각형의 한 변이고, ChiOmega는 십각형의 한 변이며, 각 PChiOmega는 직각이므로, 그러므로 POmega는 오각형의 한 변이다. 같은 이유로 YOmega도 오각형의 한 변이다. 왜냐하면 만약 우리가 PhiK, XY를 연결한다면, 그것들은 같고 서로 마주 볼 것이며, PhiK는 반지름으로서 육각형의 한 변이므로, 그러므로 XY도 육각형의 한 변이다.
ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΧΥ. δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΥΧΩ·
그런데 ChiOmega는 십각형의 한 변이고, 각 YChiOmega는 직각이다.
πενταγώνου ἄρα ἡ ΥΩ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πενταγώνου·
그러므로 YOmega는 오각형의 한 변이다. 그리고 PY도 오각형의 한 변이다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΥΩ τρίγωνον.
그러므로 삼각형 PYOmega는 정삼각형이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ εὐθεῖαι, κορυφὴ δὲ τὸ Ω σημεῖον, ἰσόπλευρόν ἐστιν.
같은 이유로 나머지 삼각형들, 즉 직선 PR, RS, ST, TY를 밑변으로 하고 점 Omega를 꼭짓점으로 하는 각각의 삼각형도 정삼각형이다.
πάλιν, ἐπεὶ ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΛ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΦΨ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΦΨ γωνία, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΨ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΜΦ οὖσαν ἑξαγώνου, συνάγεται καὶ ἡ ΜΨ πενταγώνου.
다시, PhiL은 육각형의 한 변이고, PhiPsi는 십각형의 한 변이며, 각 LPhiPsi는 직각이므로, 그러므로 LPsi는 오각형의 한 변이다. 같은 이유로 만약 우리가 육각형의 한 변인 MPhi를 연결한다면, MPsi도 오각형의 한 변임이 추론된다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΜ πενταγώνου·
그리고 LM도 오각형의 한 변이다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΨ τρίγωνον.
그러므로 삼각형 LMPsi는 정삼각형이다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ, κορυφὴ δὲ τὸ Ψ σημεῖον, ἰσόπλευρόν ἐστιν.
이와 같이 나머지 삼각형들, 즉 MN, NXi, XiO, OL을 밑변으로 하고 점 Psi를 꼭짓점으로 하는 각각의 삼각형도 정삼각형임이 증명될 것이다.
συνέσταται ἄρα εἰκοσάεδρον ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.
그러므로 스무 개의 정삼각형으로 둘러싸인 정이십면체가 구성되었다.