§13.prop.14ὀκτάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ πρότερα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ ὀκταέδρου.
정팔면체를 구성하고 앞의 경우와 같이 구로 둘러싸는 것, 그리고 구의 지름이 제곱에 있어서 정팔면체의 한 변의 2배임을 보여주는 것.
Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν τῇ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ, ΕΗ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Κ σημείου τῷ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα ἡ ΚΛ καὶ διήχθω ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ ἐπιπέδου ὡς ἡ ΚΜ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀφʼ ἑκατέρας τῶν ΚΛ, ΚΜ μιᾷ τῶν ΕΚ, ΖΚ, ΗΚ, ΘΚ ἴση ἑκατέρα τῶν ΚΛ, ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΕ, ΛΖ, ΛΗ, ΛΘ, ΜΕ, ΜΖ, ΜΗ, ΜΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΚΘ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΚΘ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΘΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΕ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΛΚΕ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΕΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ·
주어진 구의 지름 AB가 놓여 있다고 하고, C에서 이등분되게 하라. 그리고 AB 위에 반원 ADB가 그려지게 하고, C로부터 AB에 직각으로 CDが 그어지게 하고, DB가 연결되게 하라. 그리고 각 변이 DB와 같은 정사각형 EZHTh가 놓여 있다고 하고, ThZ, EH가 연결되게 하라. 그리고 점 K로부터 정사각형 EZHTh의 평면에 직각으로 직선 KL이 세워지게 하고, 평면의 다른 쪽으로 KM으로서 연장되게 하라. 그리고 KL, KM 각각으로부터 EK, ZK, HK, ThK 중 하나와 같도록 KL, KM 각각이 잘려 나가게 하라. 그리고 LE, LZ, LH, LTh, ME, MZ, MH, MTh가 연결되게 하라. 그리고 KE는 KTh와 같고, 각 EKTh는 직각이므로, 그러므로 ThE 위의 정사각형은 EK 위의 정사각형의 2배이다. 다시, LK는 KE와 같고, 각 LKE는 직각이므로, 그러므로 EL 위의 정사각형은 EK 위의 정사각형의 2배이다. 그리고 ThE 위의 정사각형도 EK 위의 정사각형의 2배임이 밝혀졌다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ·
그러므로 LE 위의 정사각형은 ETh 위의 정사각형과 같다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΕ τῇ ΕΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΛΘ τῇ ΘΕ ἐστιν ἴση·
그러므로 LE는 ETh와 같다. 같은 이유로 LTh도 ThE와 같다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΕΘ τρίγωνον.
그러므로 삼각형 LETh는 정삼각형이다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πλευραί, κορυφαὶ δὲ τὰ Λ, Μ σημεῖα, ἰσόπλευρόν ἐστιν·
이와 같이 우리는 나머지 삼각형들 각각(이들의 밑변은 정사각형 EZHTh의 변들이고, 꼭짓점은 점 L, M이다)도 정삼각형임을 보일 것이다.
ὀκτάεδρον ἄρα συνέσταται ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.
그러므로 여덟 개의 정삼각형으로 둘러싸인 정팔면체가 구성되었다.
δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς.
이제 그것을 주어진 구로 둘러싸고, 구의 지름이 제곱에 있어서 정팔면체의 한 변의 2배임을 보여야 한다.
ἐπεὶ γὰρ αἱ τρεῖς αἱ ΛΚ, ΚΜ, ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΛΜ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε. καὶ διὰ τὰ αὐτά, ἐὰν μενούσης τῆς ΛΜ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Η, Θ σημείων, καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ ὀκτάεδρον.
왜냐하면 세 직선 LK, KM, KE는 서로 같으므로, 그러므로 LM 위에 그려진 반원은 E도 지나갈 것이다. 그리고 같은 이유로, LM이 고정된 채로 반원이 회전하여 움직이기 시작한 바로 그 위치로 다시 돌아온다면, 그것은 점 Z, H, Th도 지나갈 것이고, 정팔면체는 구에 내접하게 될 것이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ.
이제 나는 그것이 주어진 구이기도 하다고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΜ, κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΛΕ βάσει τῇ ΕΜ ἐστιν ἴση.
왜냐하면 LK는 KM과 같고, KE는 공통이며, 이들은 직각을 끼고 있으므로, 그러므로 밑변 LE는 밑변 EM과 같다.
καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΕΜ γωνία· ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, διπλασία ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ·
그리고 각 LEM은 직각이므로 (왜냐하면 반원 안에 있기 때문이다), 그러므로 LM 위의 정사각형은 LE 위의 정사각형의 2배이다. 다시, AC는 GB와 같으므로, AB는 BC의 2배이다. 그리고 AB 대 BC의 비는 AB 위의 정사각형 대 BD 위의 정사각형의 비와 같으므로, 그러므로 AB 위의 정사각형은 BD 위의 정사각형의 2배이다.
διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ. καί ἐστιν ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΕ·
그리고 LM 위의 정사각형도 LE 위의 정사각형의 2배임이 밝혀졌다. 그리고 DB 위의 정사각형은 LE 위의 정사각형과 같다.
ἴση γὰρ κεῖται ἡ ΕΘ τῇ ΔΒ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΜ·
왜냐하면 ETh는 DB와 같게 놓였기 때문이다. 그러므로 AB 위의 정사각형도 LM 위의 정사각형과 같다.
ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΛΜ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος·
그러므로 AB는 LM과 같다. 그리고 AB는 주어진 구의 지름이다.
ἡ ΛΜ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ.
그러므로 LM은 주어진 구의 지름과 같다.
περιείληπται ἄρα τὸ ὀκτάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ.
그러므로 정팔면체는 주어진 구에 내접하였다.
καὶ συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς·
그리고 구의 지름이 제곱에 있어서 정팔면체의 한 변의 2배임이 동시에 증명되었다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.