§13.prop.11#1ἐὰν εἰς κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.
만약 유리수인 지름을 가진 원에 등변 오각형이 내접한다면, 오각형의 한 변은 이른바 ‘극소선’이라 불리는 무리선이다.
εἰς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔΕ ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ·
유리수인 지름을 가진 원 ABCDE에 등변 오각형 ABCDE가 내접해 있다고 하라.
λέγω, ὅτι ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.
나는 오각형의 한 변이 이른바 ‘극소선’이라 불리는 무리선이라고 주장한다.
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ καὶ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, καὶ κείσθω τῆς ΑΖ τέταρτον μέρος ἡ ΖΚ. ῥητὴ δὲ ἡ ΑΖ·
원 중심을 점 F라 하고, AF, FB를 이어 점 H, Th까지 연장하고, AG를 잇고, AF의 4분의 1에 해당하는 FK를 잡아라. 그런데 AF는 유리수이다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΚ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΖ ῥητή·
그러므로 FK도 유리수이다. 또한 BF도 유리수이다.
ὅλη ἄρα ἡ ΒΚ ῥητή ἐστιν.
그러므로 전체 BK는 유리수이다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΔΗ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση.
그리고 호 AGH는 호 ADH와 같고, 그것들 중 호 ABG는 호 AED와 같으므로, 그러므로 나머지 GH는 나머지 HD와 같다.
καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΔ, συνάγονται ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Λ γωνίαι, καὶ διπλῆ ἡ ΓΔ τῆς ΓΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τῷ Μ ὀρθαί εἰσιν, καὶ διπλῆ ἡ ΑΓ τῆς ΓΜ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΜΖ, κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΓΛ καὶ τοῦ ΑΜΖ ἡ ὑπὸ ΛΑΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΛ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΜΖΑ ἐστιν ἴση·
그리고 우리가 AD를 잇는다면, L에서의 각들은 직각이고, GD는 GL의 두 배이다. 바로 같은 이유로 M에서의 각들도 직각이며, AG는 GM의 두 배이다. 그러므로 각 ALG가 각 AMF와 같고, 두 삼각형 AGL과 AMF에서 각 LAG가 공통이므로, 그러므로 나머지 각 AGL은 나머지 각 MFA와 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓΛ τρίγωνον τῷ ΑΜΖ τριγώνῳ·
그러므로 삼각형 AGL은 삼각형 AMF와 닮음(등각)이다.
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ΖΑ·
그러므로 비례하여, LG가 GA에 대한 비는 MF가 FA에 대한 비와 같다.
καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια·
그리고 전항들의 두 배도 그러하므로, 그러므로 LG의 두 배가 GA에 대한 비는 MF의 두 배가 FA에 대한 비와 같다.
ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ διπλῆ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ τῆς ΜΖ διπλῆ πρὸς τὴν ΖΑ. ὡς δὲ ἡ τῆς ΜΖ διπλῆ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΖΑ·
그런데 MF의 두 배가 FA에 대한 비는 MF가 FA의 절반에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ διπλῆ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΖΑ. καὶ τῶν ἑπομένων τὰ ἡμίσεα·
그러므로 또한 LG의 두 배가 GA에 대한 비는 MF가 FA의 절반에 대한 비와 같다.
ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ διπλῆ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΓΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὸ τέταρτον τῆς ΖΑ. καί ἐστι τῆς μὲν ΛΓ διπλῆ ἡ ΔΓ, τῆς δὲ ΓΑ ἡμίσεια ἡ ΓΜ, τῆς δὲ ΖΑ τέταρτον μέρος ἡ ΖΚ·
그리고 후항들의 절반도 그러하므로, 그러므로 LG의 두 배가 GA의 절반에 대한 비는 MF가 FA의 4분의 1에 대한 비와 같다. 그런데 DG는 LG의 두 배이고, GM은 GA의 절반이고, FK는 FA의 4분의 1이다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ΖΚ. συνθέντι καὶ ὡς συναμφότερος ἡ ΔΓΜ πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ ΜΚ πρὸς ΚΖ·
그러므로 DG가 GM에 대한 비는 MF가 FK에 대한 비와 같다. 합비를 취하면, DG와 GM의 합이 GM에 대한 비는 MK가 KF에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΓΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΜ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ τῆς ὑπὸ δύο πλευρὰς τοῦ πενταγώνου ὑποτεινούσης, οἷον τῆς ΑΓ, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ, τουτέστι τῇ ΔΓ, τὸ δὲ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ὅλης, καί ἐστιν ὅλης τῆς ΑΓ ἡμίσεια ἡ ΓΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓΜ ὡς μιᾶς πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΜ.
그러므로 또한 DG와 GM의 합 (하나의 직선으로 본 것) 위의 정사각형이 GM 위의 정사각형에 대한 비는 MK 위의 정사각형이 KF 위의 정사각형에 대한 비와 같다. 그리고 오각형의 두 변을 받치는 직선, 예컨대 AG가 외중비로 나누어질 때 큰 선분은 오각형의 한 변, 즉 DG와 같고, 큰 선분에 전체의 절반을 더한 것의 제곱은 전체의 절반 위의 정사각형의 5배와 같으며, GM은 전체 AG의 절반이므로, 그러므로 하나의 직선으로서 DG와 GM의 합 위의 정사각형은 GM 위의 정사각형의 5배이다.