Humanitext Reader

에우클레이데스 · 기하학 원론 §13.prop.12

내접하는 정삼각형의 변의 제곱과 원의 반지름의 제곱의 비

316개 구절 중 305번째 · 그리스어

요약

원에 내접하는 정삼각형의 한 변의 제곱이 그 원의 반지름의 제곱의 3배임을 지름의 연장선과 반원 안의 직각을 활용하여 증명한다.

§13.prop.12ἐὰν εἰς κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.
원에 정삼각형이 내접하면, 그 삼각형의 한 변은 원의 반지름에 대하여 제곱에 있어서 3배이다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ εἰς αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓ·
원을 ABG라 하고, 이것에 정삼각형 ABG가 내접해 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μία πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
나는 삼각형 ABG의 한 변이 원 ABG의 반지름에 대하여 제곱에 있어서 3배라고 주장한다.
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἡ ΒΕΓ ἄρα περιφέρεια τρίτον μέρος ἐστὶ τῆς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας.
왜냐하면 원 ABG의 중심을 D라 하고, AD를 이어 E까지 연장하고, BE를 이으라. 그리고 삼각형 ABG가 정삼각형이므로, 그러므로 호 BEG는 원 ABG 둘레의 3분의 1이다.
ἡ ἄρα ΒΕ περιφέρεια ἕκτον ἐστὶ μέρος τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας·
그러므로 호 BE는 원 둘레의 6분의 1이다.
ἑξαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ εὐθεῖα·
그러므로 직선 BE는 정육각형의 한 변이다.
ἴση ἄρα ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΕ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΕ τῆς ΔΕ, τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ·
그러므로 그것은 반지름 DE와 같다. 그리고 AE가 DE의 2배 이므로, AE 위의 정사각형은 ED 위의 정사각형, 즉 BE 위의 정사각형의 4배이다. 그런데 AE 위의 정사각형은 AB, BE 위의 정사각형들의 합과 같다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ. διελόντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ. ἴση δὲ ἡ ΒΕ τῇ ΔΕ·
그러므로 AB, BE 위의 정사각형들의 합은 BE 위의 정사각형의 4배이다. 그러므로 분비를 취하면, AB 위의 정사각형은 BE 위의 정사각형의 3배이다. 그리고 BE는 DE와 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ. ἡ ἄρα τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου·
그러므로 AB 위의 정사각형은 DE 위의 정사각형의 3배이다. 그러므로 삼각형의 한 변은 반지름에 대하여 제곱에 있어서 3배이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.

어휘·문법 주석

  1. §13.prop.12δυνάμει τριπλασίων — 여격 δυνάμει(문자 그대로는 '힘에 있어서', 수학적 맥락에서는 '제곱에 있어서')가 배수를 나타내는 형용사 τριπλασίων('3배의')과 결합하여, 한 선의 제곱이 다른 선의 제곱의 3배가 됨을 나타낸다.
  2. §13.prop.12τῆς ἐκ τοῦ κέντρου — 여성 관사 τῆς는 생략된 여성 명사 εὐθείας('직선')와 일치하며, 전치사구 ἐκ τοῦ κέντρου('중심으로부터의')와 함께 '중심에서 그은 직선', 즉 반지름을 의미한다. 여기서 속격이 사용된 것은 배수 형용사 τριπλασίων의 지배를 받는 비교 속격이기 때문이다.
  3. §13.prop.12διελόντι — 동사 διαιρέω('분리하다', '나누다')의 제2부정과거 능동태 분사 남성 단수 여격. 그리스 수학에서 '비의 분리' 또는 '공통 부분을 뺌'을 지시할 때 사용하는 관용적 여격 표현이다. 여기서는 $AB^2 + BE^2 = 4BE^2$의 양변에서 $BE^2$를 빼서 $AB^2 = 3BE^2$를 얻는 연산을 가리킨다.
  4. §13.prop.12ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ — AE가 지름(중심 D를 지나기 때문)이므로, 각 ABE는 반원에 대한 원주각으로서 직각이다(『기하학 원론』 3권 명제 31). 따라서 직각삼각형 ABE에서 피타고라스 정리(1권 명제 47)를 적용하면, AE 위의 정사각형은 AB와 BE 위의 정사각형들의 합과 같다. 이 기하학적 전제가 명시적인 설명 없이 도입되었다.

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