§13.prop.9ἐὰν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων συντεθῶσιν, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρά.
만약 같은 원에 내접하는 육각형의 한 변과 십각형의 한 변이 더해진다면, 전체 직선은 외중비로 잘리며, 그것의 더 큰 선분은 육각형의 한 변이다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ τῶν εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον ἐγγραφομένων σχημάτων, δεκαγώνου μὲν ἔστω πλευρὰ ἡ ΒΓ, ἑξαγώνου δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἔστωσαν ἐπʼ εὐθείας·
원 ABC가 있고, 원 ABC에 내접하는 도형들 중에서, BC는 십각형의 한 변, CD는 육각형의 한 변이라 하고, 그것들이 일직선 위에 있게 하라.
λέγω, ὅτι ἡ ὅλη εὐθεῖα ἡ ΒΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΔ.
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ ἐπὶ τὸ Α. ἐπεὶ δεκαγώνου ἰσοπλεύρου πλευρά ἐστιν ἡ ΒΓ, πενταπλασίων ἄρα ἡ ΑΓΒ περιφέρεια τῆς ΒΓ περιφερείας· τετραπλασίων ἄρα ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆς ΓΒ. ὡς δὲ ἡ ΑΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΕΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΕΒ·
나는 전체 직선 BD가 외중비로 잘리며, 그것의 더 큰 선분은 CD라고 주장한다. 원 ABC의 중심을 점 E라 하고, EB, EC, ED를 잇고, BE를 A까지 연장하라. BC는 등변 십각형의 한 변이므로, 그러므로 호 ACB는 호 BC의 다섯 배이고, 그러므로 호 AC는 호 CB의 네 배이다. 그리고 호 AC 가 CB에 대한 비는 각 AEC가 각 CEB에 대한 비와 같다.
τετραπλασίων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆς ὑπὸ ΓΕΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΕΓ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΕΓΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ εὐθεῖα τῇ ΓΔ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ ἑξαγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον·
그러므로 각 AEC는 각 CEB의 네 배이다. 그리고 각 EBC가 각 ECB와 같으므로, 그러므로 각 AEC는 각 ECB의 두 배이다. 그리고 직선 EC가 CD와 같으므로 (왜냐하면 그것들의 각각은 원 ABC에 내접하는 육각형의 한 변과 같기 때문이다), 각 CED도 각 CDE와 같다.
ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΕ γωνίᾳ·
그러므로 각 ECB는 각 EDC의 두 배이다.
διπλασία ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΓΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΓ. ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΕΓΒ διπλασία ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΑΕΓ·
그런데 각 AEC는 각 ECB의 두 배임이 증명되었다.
τετραπλασία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ τῆς ὑπὸ ΒΕΓ τετραπλασία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ·
그러므로 각 AEC는 각 EDC의 네 배이다. 그리고 각 AEC도 각 BEC의 네 배임이 증명되었다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΓ τῇ ὑπὸ ΒΕΓ. κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων, τοῦ τε ΒΕΓ καὶ τοῦ ΒΕΔ, ἡ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία·
그러므로 각 EDC는 각 BEC와 같다. 그리고 두 삼각형 BEC와 BED에서 각 EBD는 공통이다.
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΔ τῇ ὑπὸ ΕΓΒ ἐστιν ἴση·
그러므로 나머지 각 BED는 나머지 각 ECB와 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΔ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 EBD는 삼각형 EBC와 닮음(등각)이다.
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ἴση δὲ ἡ ΕΒ τῇ ΓΔ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ. μείζων δὲ ἡ ΒΔ τῆς ΔΓ·
그러므로 비례하여, DB가 BE에 대한 비는 EB가 BC에 대한 비와 같다. 그런데 EB는 CD와 같다. 그러므로 BD가 DC에 대한 비는 DC가 CB에 대한 비와 같다. 그런데 BD는 DC보다 크다.
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΔΓ τῆς ΓΒ. ἡ ΒΔ ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα αὐτῆς ἐστιν ἡ ΔΓ·
그러므로 DC도 CB보다 크다. 그러므로 직선 BD는 외중비로 잘려 있으며, 그것의 더 큰 선분은 DC이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 할 일이었다.