§12.prop.6#1αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ πολυγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.
같은 높이에 있고 다각형 밑면을 가지는 각뿔들은 서로에 대하여 밑면의 비와 같다.
ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ πολύγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Μ, ν σημεῖα·
같은 높이에 있는 각뿔들이 있다고 하자. 이것들의 밑면은 다각형 ABGDE, ZHQKL이고, 꼭짓점은 점 M, N이다.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα.
나는 말한다, 밑면 ABGDE가 밑면 ZHQKL에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGDEM이 각뿔 ZHQKLN에 대하여 가지는 비와 같다.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΑΔ, ΖΘ, ΖΚ. ἐπεὶ οὖν δύο πυραμίδες εἰσὶν αἱ ΑΒΓΜ, ΑΓΔΜ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις καὶ ὕψος ἴσον, πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις·
왜냐하면 AG, AD, ZQ, ZK가 연결되었다고 하자. 그러므로 ABGM, AGDM은 삼각형 밑면을 가지고 높이가 같은 두 각뿔이므로, 서로에 대하여 밑면의 비와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΑΓΔ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα.
그러므로 밑면 ABG가 밑면 AGD에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGM이 각뿔 AGDM에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΓΔ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα.
그리고 더하면, 밑면 ABGD가 밑면 AGD에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGDM이 각뿔 AGDM에 대하여 가지는 비와 같다.
ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΑΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα.
그런데 또한 밑면 AGD가 밑면 ADE에 대하여 가지는 비는 각뿔 AGDM이 각뿔 ADEM에 대하여 가지는 비와 같다.
διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα.
그러므로 동등비에 의해, 밑면 ABGD가 밑면 ADE에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGDM이 각뿔 ADEM에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ συνθέντι πάλιν, ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα.
그리고 다시 더하면, 밑면 ABGDE가 밑면 ADE에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGDEM이 각뿔 ADEM에 대하여 가지는 비와 같다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ὡς ἡ ΖΗΘΚΛ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως καὶ ἡ ΖΗΘΚΛΝ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα.
그리고 마찬가지로 밑면 ZHQKL이 밑면 ZHQ에 대하여 가지는 비는 각뿔 ZHQKLN이 각뿔 ZHQN이 가지는 비와 같다는 것도 보일 것이다.
καὶ ἐπεὶ δύο πυραμίδες εἰσὶν αἱ ΑΔ ΕΜ, ΖΗΘΝ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις καὶ ὕψος ἴσον, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα.
그리고 ADEM, ZHQN은 삼각형 밑면을 가지고 높이가 같은 두 각뿔이므로, 그러므로 밑면 ADE가 밑면 ZHQ에 대하여 가지는 비는 각뿔 ADEM이 각뿔 ZHQN에 대하여 가지는 비와 같다.
ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓΔΕ βάσιν, οὕτως ἦν ἡ ΑΔ ΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΒΓΔΕΜ πυραμίδα.
핵심은 밑면 ADE가 밑면 ABGDE에 대하여 가지는 비는 각뿔 ADEM이 각뿔 ABGDEM에 대하여 가지는 비와 같았다.
καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα.
그러므로 동등비에 의해, 밑면 ABGDE가 밑면 ZHQ에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGDEM이 각뿔 ZHQN에 대하여 가지는 비와 같다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς ἡ ΖΗΘ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτως ἦν καὶ ἡ ΖΗΘΝ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα.
그런데 참으로 또한 밑면 ZHQ가 밑면 ZHQKL에 대하여 가지는 비는 각뿔 ZHQN이 각뿔 ZHQKLN에 대하여 가지는 비와 같았다.
καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα·
그러므로 동등비에 의해, 밑면 ABGDE가 밑면 ZHQKL에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGDEM이 각뿔 ZHQKLN 에 대하여 가지는 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν διαιρεῖται εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους βάσεις ἐχούσας.
삼각형 밑면을 가지는 모든 각기둥은 삼각형 밑면을 가지고 서로 같은 세 각뿔로 분할된다.
ἔστω πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ·
각기둥이 있다고 하자. 이것의 밑면은 삼각형 ABG이고 맞은편 면은 DEZ이다.
λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα διαιρεῖται εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους ἐχούσας βάσεις.
나는 말한다, 각기둥 ABGDEZ는 삼각형 밑면을 가지고 서로 같은 세 각뿔로 분할된다.