§12.prop.4#2καὶ ὁμοίως, ἐὰν διαιρεθῶσιν αἱ ΟΜΝΗ, ΣΤΥΘ πυραμίδες εἴς τε δύο πρίσματα καὶ δύο πυραμίδας, ἔσται ὡς ἡ ΟΜΝ βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΟΜ ΝΗ πυραμίδι δύο πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΣΤΥΘ πυραμίδι δύο πρίσματα.
그리고 마찬가지로, 만일 각뿔 OMNH, STYQ가 두 개의 각기둥과 두 개의 각뿔로 분할된다면, 밑면 OMN이 밑면 STY에 대하여 가지는 비는, 각뿔 OMNH 안의 두 각기둥이 각뿔 STYQ 안의 두 각기둥에 대하여 가지는 비와 같을 것이다.
ἀλλʼ ὡς ἡ ΟΜΝ βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν·
그런데 밑면 OMN이 밑면 STY에 대하여 가지는 비는 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비와 같다.
ἴσον γὰρ ἑκάτερον τῶν ΟΜΝ, ΣΤΥ τριγώνων ἑκατέρῳ τῶν ΛΞΓ, ΡΦΖ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ τέσσαρα πρίσματα πρὸς τὰ τέσσαρα πρίσματα.
왜냐하면 삼각형 OMN, STY 각각은 삼각형 LXG, RFZ 각각과 같기 때문이다. 그러므로 또한, 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비는 네 개의 각기둥이 네 개의 각기둥에 대하여 가지는 비와 같다.
ὁμοίως δὲ κἂν τὰς ὑπολειπομένας πυραμίδας διέλωμεν εἴς τε δύο πυραμίδας καὶ εἰς δύο πρίσματα, ἔσται ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒ ΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ·
그리고 마찬가지로 남아있는 각뿔들을 두 개의 각뿔과 두 개의 각기둥으로 분할하더라도, 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비는, 각뿔 ABGH 안의 모든 각기둥이 각뿔 DEZQ 안의 모든 동수의 각기둥에 대하여 가지는 비와 같을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
λῆμμα
ὅτι δέ ἐστιν ὡς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ, οὕτω δεικτέον.
보조정리 삼각형 LXG가 삼각형 RFZ에 대하여 가지는 비는, 밑면이 삼각형 LXG이고 그것과 마주보는 면이 OMN인 각기둥이, 밑면이RFZ이고 그것과 마주보는 면이 STY인 각기둥에 대하여 가지는 비와 같다는 것은, 다음과 같이 보여야 한다.
ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς νενοήσθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα, ἴσαι δηλαδὴ τυγχάνουσαι διὰ τὸ ἰσοϋψεῖς ὑποκεῖσθαι τὰς πυραμίδας.
왜냐하면 같은 그림에서, 점 H, Q로부터 평면 ABG, DEZ로 내린 수선들이 생각된다고 하자. 각뿔들이 같은 높이를 가진다고 가정되었으므로 그것들은 분명히 서로 같다.
καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΗΓ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΑΒΓ, ΟΜΝ τέμνονται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται.
그리고 두 직선, 즉 HG와 H로부터의 수선이평행한 평면 ABG, OMN에 의해 잘리므로, 그것들은 같은 비로 잘릴 것이다.
καὶ τέτμηται ἡ ΗΓ δίχα ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου κατὰ τὸ Ν·
그리고 HG는 평면 OMN에 의해 점 N에서 이등분되어 있다.
καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἄρα κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου.
그러므로 또한 H로부터 평면 ABG로 내린 수선도 평면 OMN에 의해 이등분될 것이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος ἐπὶ τὸ ΔΕΖ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΣΤΥ ἐπιπέδου.
같은 이유로 또한 Q로부터평면 DEZ로 내린 수선도 평면 STY에 의해 이등분될 것이다.
καί εἰσιν ἴσαι αἱ ἀπὸ τῶν Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα·
그리고 점 H, Q로부터 평면 ABG, DEZ로 내린 수선들은 같다.
ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ἀπὸ τῶν ΟΜΝ, ΣΤΥ τριγώνων ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ κάθετοι.
그러므로 삼각형 OMN, STY로부터 평면 ABG, DEZ로 내린 수선들 또한 같다.
ἰσοϋψῆ ἄρα τὰ πρίσματα, ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΛΞΓ, ΡΦΖ τρίγωνα, ἀπεναντίον δὲ τὰ ΟΜΝ, ΣΤΥ. ὥστε καὶ τὰ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ἀπὸ τῶν εἰρημένων πρισμάτων ἀναγραφόμενα ἰσοϋψῆ καὶ πρὸς ἄλληλα ὡς αἱ βάσεις·
그러므로 밑면이 삼각형 LXG, RFZ이고그것과 마주보는 면이 OMN, STY인 각기둥들은 높이가 같다. 그리하여 위에서 언급한 각기둥들로부터 그려진 입체 평행육면체들도 높이가 같고 서로에 대하여 밑면의 비와 같다.
καὶ τὰ ἡμίση ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΛΞΓ βάσις πρὸς τὴν ΡΦΖ βάσιν, οὕτως τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸς ἄλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 그것들의 절반 또한, 밑면 LXG가 밑면 RFZ에 대하여 가지는 비는 위에서 언급한 각기둥들이 서로에 대하여 가지는 비와 같다. 이것이 보여야 할 일이었다.