§12.prop.2#2ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Σ χωρίον·
그러나 또한 BD 위의 정사각형이 ZQ 위의 정사각형에 대한 비는 원 ABGD가 영역 S에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Σ χωρίον, οὕτως τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον·
그러므로 원 ABGD가 영역 S에 대한 비는 다각형 AXBOGPDR이 다각형 EKZLHMQN에 대한 비와 같다.
ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ ἐν αὐτῷ πολύγωνον, οὕτως τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον.
그러므로 교대로 하면, 원 ABGD가 그것에 내접하는 다각형에 대한 비는 영역 S가 다각형 EKZLHMQN에 대한 비와 같다.
μείζων δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ ἐν αὐτῷ πολυγώνου·
그런데 원 ABGD는 그것에 내접하는 다각형보다 더 크다.
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Σ χωρίον τοῦ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνου.
따라서 영역 S도 다각형 EKZLHMQN보다 더 크다.
ἀλλὰ καὶ ἔλαττον·
그러나 또한 ［영역 S는 다각형보다］ 더 작다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον.
그러므로 BD 위의 정사각형이 ZQ 위의 정사각형에 대한 비는 원 ABGD가 원 EZHQ보다 더 작은 어떤 영역에 대한 비와 같지 않다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ὡς τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον.
이와 같이 ZQ 위의 ［정사각형］이 BD 위의 ［정사각형］에 대한 비는 원 EZHQ가 원 ABGD 보다 더 작은 어떤 영역에 대한 비와 같지 않음도 보일 것이다.
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον.
이제 나는 말한다, BD 위의 ［정사각형］이 ZQ 위의 ［정사각형］에 대한 비는 원 ABGD가 원 EZHQ보다 더 큰 어떤 영역에 대한 비와 같지 않다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Σ. ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ, οὕτως τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.
왜냐하면 만일 가능하다면, 더 큰 ［영역］ S에 대한 비라 하자. 그러므로 바꾸어 말하면, ZQ 위의 정사각형이 DB 위의 정사각형에 대한 비는 영역 S가 원 ABGD에 대한 비와 같다.
ἀλλʼ ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον·
그런데 영역 S가 원 ABGD에 대한 비는 원 EZHQ가 원 ABGD보다 더 작은 어떤 영역에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον·
그러므로 ZQ 위의 ［정사각형］이 BD 위의 ［정사각형］에 대한 비는 원 EZHQ가 원 ABGD보다 더 작은 어떤 영역에 대한 비와 같다.
ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.
이것은 불가능하다고 증명되었다.
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον.
그러므로 BD 위의 정사각형이 ZQ 위의 정사각형에 대한 비는 원 ABGD가 원 EZHQ보다 더 큰 어떤 영역에 대한 비와 같지 않다.
ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον·
또한 더 작은 것에 대한 비와 같지도 않음이 증명되었다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον.
그러므로 BD 위의 정사각형이 ZQ 위의 정사각형에 대한 비는 원 ABGD가 원 EZHQ에 대한 비와 같다.
οἱ ἄρα κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα·
그러므로 원들은 서로에 대하여 지름들 위의 정사각형들의 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
λῆμμα
λέγω δή, ὅτι τοῦ Σ χωρίου μείζονος ὄντος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐστὶν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον.
보조정리 이제 나는 말한다, 영역 S가 원 EZHQ보다 더 클 때, 영역 S가 원 ABGD에 대한 비는 원 EZHQ가 원 ABGD보다 더 작은 어떤 영역에 대한 비와 같다.
γεγονέτω γὰρ ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον.
왜냐하면 영역 S가 원 ABGD에 대한 비가, 원 EZHQ가 영역 T에 대한 비와 같게 되도록 하자.
λέγω, ὅτι ἔλαττόν ἐστι τὸ Τ χωρίον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
나는 말한다, 영역 T는 원 ABGD보다 더 작다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον, ἐναλλάξ ἐστιν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον.
왜냐하면 영역 S가 원 ABGD에 대한 비는 원 EZHQ가 영역 T에 대한 비와 같으므로, 교대로 하면 영역 S가 원 EZHQ에 대한 비는 원 ABGD가 영역 T에 대한 비와 같기 때문이다.
μεῖζον δὲ τὸ Σ χωρίον τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου·
그런데 영역 S는 원 EZHQ보다 더 크다.
μείζων ἄρα καὶ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ Τ χωρίου.
그러므로 원 ABGD도 영역 T보다 더 크다.
ὥστε ἐστὶν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον·
따라서 영역 S가 원 ABGD에 대한 비는 원 EZHQ가 원 ABGD보다 더 작은 어떤 영역에 대한 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.