§12.prop.1τὰ ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα.
원들에 내접하는 닮은 다각형들은 서로에 대하여 지름들 위의 정사각형들의 비와 같다.
ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΖΗΘ, καὶ ἐν αὐτοῖς ὅμοια πολύγωνα ἔστω τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, διάμετροι δὲ τῶν κύκλων ἔστωσαν αἱ ΒΜ, ΗΝ·
원 ABG, ZHQ가 있고, 그것들 안에 닮은 다각형 ABGDE, ZHQKL이 있으며, 원들의 지름들을 BM, HN이라 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον.
나는 말한다, BM 위의 정사각형이 HN 위의 정사각형에 대한 비는 다각형 ABGDE가 다각형 ZHQKL에 대한 비와 같다.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΑΜ, ΗΛ, ΖΝ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΛ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΛ. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΑΕ, ΗΖΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΗΖΛ, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον·
왜냐하면 BE, AM, HL, ZN을 이었다고 하자. 그리고 다각형 ABGDE는 다각형 ZHQKL과 닮았으므로, 각 BAE도 각 HZL과 같고, BA가 AE에 대한 비는 HZ가 ZL에 대한 비와 같다. 여기에 두 삼각형 BAE, HZL이 있어서 한 각이 한 각과 같으니 곧 각 BAE가 각 HZL과 같고, 그 같은 각들을 끼고 있는 변들이 비례한다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABE는 삼각형 ZHL과 등각이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΗ. ἀλλʼ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΜΒ ἐστιν ἴση· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας βεβήκασιν·
그러므로 각 AEB는 각 ZLH와 같다. 그런데 각 AEB는 각 AMB와 같으니, 왜냐하면 그것들은 같은 호 위에 서 있기 때문이다.
ἡ δὲ ὑπὸ ΖΛΗ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ·
그리고 각 ZLH는 각 ZNH와 같다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΜΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΝΗ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 AMB도 각 ZNH와 같다.
ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΑΜ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΗΖΝ ἴση·
그리고 직각인 BAM도 직각인 HZN과 같다.
καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση.
그러므로 나머지 각도 나머지 각과 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABM은 삼각형 ZHN과 등각이다.
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΜ πρὸς τὴν ΗΝ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΗΖ. ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς ΒΜ πρὸς τὴν ΗΝ λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, τοῦ δὲ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΗΖ διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου πρὸς τὸ ΖΗ ΘΚΛ πολύγωνον·
그러므로 비례적으로 BM이 HN에 대한 비는 BA가 HZ에 대한 비와 같다. 그런데 BM이 HN에 대한 비의 이중비는 BM 위의 정사각형이 HN 위의 정사각형에 대한 비이고, BA가 HZ에 대한 비의 이중비는 다각형 ABGDE가 다각형 ZHQKL에 대한 비이다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον.
그러므로 BM 위의 정사각형이 HN 위의 정사각형에 대한 비는 다각형 ABGDE가 다각형 ZHQKL에 대한 비와 같다.
τὰ ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα·
그러므로 원들에 내접하는 닮은 다각형들은 서로에 대하여 지름들 위의 정사각형들의 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.