§12.prop.12#1οἱ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων.
닮은 원뿔들과 원기둥들은 서로 밑면의 지름들의 3제곱의 비(3배의 비)와 같다.
ἔστωσαν ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΒΔ, ΖΘ, ἄξονες δὲ τῶν κώνων καὶ κυλίνδρων οἱ ΚΛ, ΜΝ·
닮은 원뿔들과 원기둥들이 있다고 하고, 그것들의 밑면은 원 ABCD, EZHTh이고, 밑면의 지름은 BD, ZTh이며, 원뿔들과 원기둥들의 축은 KL, MN이라고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.
εἰ γὰρ μὴ ἔχει ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, ἕξει ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος ἢ πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸς μεῖζον.
나는 주장한다, 밑면이 원 ABCD이고 꼭짓점이 점 L인 원뿔은 밑면이 원 EZHTh이고 꼭짓점이 점 N인 원뿔에 대하여, BD가 ZTh에 대한 비의 3제곱의 비를 가진다고. 왜냐하면 만약 원뿔 ABCDL이 원뿔 EZHThN에 대하여 BD가 ZTh에 대한 비의 3제곱의 비를 가지지 않는다면, 원뿔 ABCDL은 원뿔 EZHThN보다 작은 어떤 입체에 대하여 3제곱의 비를 가지거나, 혹은 더 큰 입체에 대하여 가질 것이다.
ἐχέτω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Ξ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ·
먼저 더 작은 입체 X에 대하여 그 비를 가진다고 하자. 그리고 원 EZHTh 안에 정사각형 EZHTh를 내접시키자.
τὸ ἄρα ΕΖΗΘ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
그러면 정사각형 EZHTh는 원 EZHTh의 절반보다 크다.
καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ·
그리고 정사각형 EZHTh 위에 원뿔과 같은 꼭짓점을 가지는 각뿔을 세우자.
ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ κώνου.
그러면 세워진 각뿔은 원뿔의 절반 부분보다 크다.
τετμήσθωσαν δὴ αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΟ, ΟΖ, ΖΠ, ΠΗ, ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ. καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΟΖ, ΖΠΗ, ΗΡΘ, ΘΣΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
이제 호 EZ, ZhH, HTh, ThE를 점 O, P, R, S에서 이등분하고, 선분 EO, OZ, ZP, PH, HR, RTh, ThS, SE를 잇자. 그러면 삼각형 EOZ, ZPH, HRTh, ThSE 각각은 원 EZHTh의 대응하는 활꼴의 절반 부분보다 크다.
καὶ ἀνεστάτω ἐφʼ ἑκάστου τῶν ΕΟΖ, ΖΠΗ, ΗΡΘ, ΘΣΕ τριγώνων πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ·
그리고 삼각형 EOZ, ZPH, HRTh, ThSE 각각 위에 원뿔과 같은 꼭짓점을 가지는 각뿔을 세우자.
καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου.
그러면 세워진 각뿔들 각각도 원뿔의 대응하는 부분의 절반보다 크다.
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφʼ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἐχούσας τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος τοῦ Ξ στερεοῦ.
이제 남은 호들을 이등분하고 선분을 이으며, 각각의 삼각형 위에 원뿔과 같은 꼭짓점을 가지는 각뿔을 세우고, 이것을 계속 반복해 나간다면, 우리는 원뿔 EZHThN이 입체 X보다 큰 차이(초과량)보다 더 작게 될 원뿔의 어떤 잘려 나간 부분들을 남기게 될 것이다.
λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΟ, ΟΖ, ΖΠ, ΠΗ, ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ·
그것들이 남았다고 하고, 그것들이 EO, OZ, ZP, PH, HR, RTh, ThS, SE 위에 있는 부분들이라고 하자.
λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ.
그러면 밑면은 다각형 EOZPHRThS이고 꼭짓점은 점 N인 남은 각뿔은 입체 X보다 크다.
ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον πολύγωνον τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολυγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ, καὶ τῶν μὲν περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΤΒΥ ΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, ἓν τρίγωνον ἔστω τὸ ΛΒΤ, τῶν δὲ περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, ἓν τρίγωνον ἔστω τὸ ΝΖΟ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΤ, ΜΟ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιός ἐστιν ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος τῷ ΕΖΗΘΝ κώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ὁ ΚΛ ἄξων πρὸς τὸν ΜΝ ἄξονα.
또한 원 ABCD 안에 다각형 EOZPHRThS와 닮고 닮은 위치에 놓인 다각형 ATBYGPhDCh를 내접시키자. 그리고 다각형 ATBYGPhDCh 위에 원뿔과 같은 꼭짓점을 가지는 각뿔을 세우자. 그리고 밑면이 다각형 ATBYGPhDCh이고 꼭짓점이 점 L인 각뿔을 둘러싸고 있는 삼각형들 중에서, 한 삼각형을 LBT라고 하고, 밑면이 다각형 EOZPHRThS이고 꼭짓점이 점 N인 각뿔을 둘러싸고 있는 삼각형들 중에서, 한 삼각형을 NZO라고 하자. 그리고 KT, MO를 잇자. 그리고 원뿔 ABCDL은 원뿔 EZHThN과 닮았으므로, 따라서 BD가 ZTh에 대한 비는 축 KL이 축 MN에 대한 비와 같다.
ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ·
그런데 BD가 ZTh에 대한 비는 BK가 ZM에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΜΝ. καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΝ.
그러므로 또한 BK가 ZM에 대한 비는 KL이 MN에 대한 비와 같다. 그리고 교대로, BK가 KL에 대한 비는 ZM이 MN에 대한 비와 같다.