§12.prop.11#1οἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις. ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, ἄξονες δὲ οἱ ΚΛ, ΜΝ, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΑΓ, ΕΗ·
같은 높이 아래에 있는 원뿔들과 원기둥들은 서로 밑면의 비와 같다.같은 높이 아래에 원뿔들과 원기둥들이 있다고 하고, 그것들의 밑면은 원 ABCD, EZHTh이고, 축은 KL, MN이며, 밑면의 지름은 AC, EH라고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΝ κῶνον. εἰ γὰρ μή, ἔσται ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον.
나는 주장한다, 원 ABCD가 원 EZHTh에 대한 비는 원뿔 AL이 원뿔 EN에 대한 비와 같다고.왜냐하면 만약 그렇지 않다면, 원 ABCD가 원 EZHTh에 대한 비는 원뿔 AL이 원뿔 EN보다 작은 어떤 입체에 대한 비이거나, 혹은 더 큰 입체에 대한 비가 될 것이다.
ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Ξ, καὶ ᾧ ἔλασσόν ἐστι τὸ Ξ στερεὸν τοῦ ΕΝ κώνου, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ Ψ στερεόν·
먼저 더 작은 입체 X에 대한 비라고 하자. 그리고 입체 X가 원뿔 EN보다 작은 그 차이에 입체 Ps가 같다고 하자.
ὁ ΕΝ κῶνος ἄρα ἴσος ἐστὶ τοῖς Ξ, Ψ στερεοῖς.
그러므로 원뿔 EN은 입체 X, Ps의 합과 같다.
ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ·
원 EZHTh에 정사각형 EZHTh를 내접시키자.
τὸ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κύκλου.
그러면 정사각형은 원의 절반보다 크다.
ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖ ΗΘ τετραγώνου πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ·
정사각형 EZHTh로부터 원뿔과 높이가 같은 각뿔을 세우자.
ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου, ἐπειδήπερ ἐὰν περιγράψωμεν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ ἀναστήσωμεν πυραμίδα ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ, ἡ ἐγγραφεῖσα πυραμὶς ἥμισύ ἐστι τῆς περιγραφείσης·
그러면 세워진 각뿔은 원뿔의 절반보다 크다. 왜냐하면 만약 우리가 원 외부에 정사각형을 외접시키고, 그것으로부터 원뿔과 높이가 같은 각뿔을 세운다면, 내접된 각뿔은 외접된 각뿔의 절반이기 때문이다.
πρὸς ἀλλήλας γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις· ἐλάττων δὲ ὁ κῶνος τῆς περιγραφείσης πυραμίδος.
왜냐하면 그것들은 서로 밑면의 비와 같고, 원뿔은 외접된 각뿔보다 작기 때문이다.
τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΟ, ΟΕ, ΕΠ, ΠΖ, ΖΡ, ΡΗ, ΗΣ, ΣΘ. ἕκαστον ἄρα τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου.
호 EZ, ZH, HTh, ThE를 점 O, P, R, S에서 이등분하고, ThO, OE, EP, PZ, ZR, RH, HS, STh를 잇자. 그러면 삼각형 ThOE, EPZ, ZRH, HSTh 각각은 원의 각각의 대응하는 활꼴 부분의 절반보다 크다.
ἀνεστάτω ἐφʼ ἑκάστου τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ·
삼각형 ThOE, EPZ, ZRH, HSTh 각각 위에 원뿔과 높이가 같은 각뿔을 세우자.
καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου.
그러면 또한 세워진 각뿔 각각은 원뿔의 각각의 대응하는 부분의 절반보다 크다.
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐπὶ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας ἰσοϋψεῖς τῷ κώνῳ καὶ ἀεὶ τοῦτο ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Ψ στερεοῦ.
그러므로 남겨진 호들을 이등분하고 직선들을 잇고 각각의 삼각형 위에 원뿔과 높이가 같은 각뿔을 세우는 이 일을 계속해 나간다면, 우리는 원뿔의 어떤 남은 부분들을 남기게 될 것인데, 이것들은 입체 Ps보다 작을 것이다.
λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ·
그것들이 남겨졌다고 하고, 그것들을 ThOE, EPZ, ZRH, HSTh 위의 것들이라 하자.
λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ.
그러므로 밑면은 다각형 ThOEPZRHS이고 높이는 원뿔과 같은 남은 각뿔은 입체 X보다 크다.
ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον πολύγωνον τὸ ΔΤΑΥΒ ΦΓΧ, καὶ ἀνεστάτω ἐπʼ αὐτοῦ πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ ΑΛ κώνῳ.
원 ABCD에도 다각형 ThOEPZRHS와 닮음이고 비슷하게 놓인 다각형 DTAYBPhGCh를 내접시키고, 그것 위에 원뿔 AL과 높이가 같은 각뿔을 세우자.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕ ΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον.
왜냐하면 AC 위의 정사각형이 EH 위의 정사각형에 대한 비는 다각형 DTAYBPhGCh가 다각형 ThOEPZRHS에 대한 비와 같고, AC 위의 정사각형이 EH 위의 정사각형에 대한 비는 원 ABCD가 원 EZHTh에 대한 비와 같으므로, 따라서 또한 원 ABCD가 원 EZHTh에 대한 비는 다각형 DTAYBPhGCh가 다각형 ThOEPZRHS에 대한 비와 같다.