§11.prop.36ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ.
만일 세 직선이 비례한다면, 그 세 직선으로 만들어지는 평행육면체 입체는, 가운데 항의 직선으로 만들어지고 등변이며 앞서 말한 입체와 등각인 평행육면체 입체와 같다.
ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ·
비례하는 세 직선을 A, B, G라 하고, A 대 B의 비는 B 대 G의 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ἐκ τῶν Α, Β, Γ στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ.
나는 말한다, A, B, G로 만들어지는 입체는 B로 만들어지고 등변이며 앞서 말한 입체와 등각인 입체와 같다.
Ἐκκείσθω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Ε περιεχομένη ὑπὸ τῶν ὑπὸ ΔΕΗ, ΗΕΖ, ΖΕΔ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Β ἴση ἑκάστη τῶν ΔΕ, ΗΕ, ΕΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΕΚ στερεὸν παραλληλεπίπεδον, τῇ δὲ Α ἴση ἡ ΛΜ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΛΜ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Λ τῇ πρὸς τῷ Ε στερεᾷ γωνίᾳ ἴση στερεὰ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΝΛΞ, ΞΛΜ, ΜΛΝ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Β ἴση ἡ ΛΞ, τῇ δὲ Γ ἴση ἡ ΛΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἴση δὲ ἡ μὲν Α τῇ ΛΜ, ἡ δὲ Β ἑκατέρᾳ τῶν ΛΞ, ΕΔ, ἡ δὲ Γ τῇ ΛΝ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΛΝ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΝΛΜ, ΔΕΖ αἱ πλευραὶ ἀντιπεπόνθασιν·
E에서의 입체각으로서 각 DEH, HEZ, ZED로 둘러싸인 것을 설정하고, DE, HE, EZ 각각을 B와 같게 놓은 다음, 평행육면체 입체 EK를 완성하자. 또한 A와 같은 LM을 취하고, 직선 LM과 그 위의 점 L에서, E에서의 입체각과 같은 입체각으로서 각 NLX, XLM, MLN으로 둘러싸인 것을 구성하자. 그리고 LX를 B와 같게 놓고, LN을 G와 같게 놓자. 그리고 A 대 B의 비는 B 대 G의 비와 같고, A는 LM과 같고, B는 LX, ED 각각과 같으며, G는 LN과 같으므로, 따라서 LM 대 EZ의 비는 DE 대 LN의 비와 같다. 그리고 같은 각인 각 NLM, DEZ를 끼고 있는 변들이 서로 반비례한다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΜΝ παραλληλόγραμμον τῷ ΔΖ παραλληλογράμμῳ.
그러므로 평행사변형 MN은 평행사변형 DZ와 같다.
καὶ ἐπεὶ δύο γωνίαι ἐπίπεδοι εὐθύγραμμοι ἴσαι εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΔΕΖ, ΝΛΜ, καὶ ἐπʼ αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἐφεστᾶσιν αἱ ΛΞ, ΕΗ ἴσαι τε ἀλλήλαις καὶ ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, αἱ ἄρα ἀπὸ τῶν Η, Ξ σημείων κάθετοι ἀγόμεναι ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΝΛΜ, ΔΕΖ ἐπίπεδα ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
그리고 두 평면 직선각 DEZ, NLM이 같고, 그것들 위에 공중에 뜬 직선 LX, EH가 서로 같으며 처음의 직선들과 각각 같은 각을 끼고 세워져 있으므로, 따라서 점 H, X로부터 NLM, DEZ를 지나는 평면 위에 그은 수선들은 서로 같다.
ὥστε τὰ ΛΘ, ΕΚ στερεὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἐστίν.
그러므로 입체 LQ, EK는 높이가 같다.
τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
그런데 같은 밑면 위에 있고 높이가 같은 평행육면체 입체들은 서로 같다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛ στερεὸν τῷ ΕΚ στερεῷ.
그러므로 입체 QL은 입체 EK와 같다.
καί ἐστι τὸ μὲν ΛΘ τὸ ἐκ τῶν Α, Β, Γ στερεόν, τὸ δὲ ΕΚ τὸ ἀπὸ τῆς Β στερεόν·
그리고 입체 LQ는 A, B, G로 만들어지는 입체이고, 입체 EK는 B로 만들어지는 입체이다.
τὸ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β, Γ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ·
그러므로 A, B, G로 만들어지는 평행육면체 입체는 B로 만들어지고 등변이며 앞서 말한 입체와 등각인 입체와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§11.prop.37ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα ἀνάλογον ἔσται·
만일 네 직선이 비례한다면, 그것들 위에 그려지고 서로 닮았으며 닮은 방식으로 그려진 평행육면체 입체들도 비례할 것이다.
καὶ ἐὰν τὰ ἀπʼ αὐτῶν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.
또한 그것들 위에 그려지고 서로 닮았으며 닮은 방식으로 그려진 평행육면체 입체들이 비례한다면, 그 직선들 자체도 비례할 것이다.
ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΚΑ, ΛΓ, ΜΕ, ΝΗ·
비례하는 네 직선을 AB, GD, EZ, HQ라 하고, AB 대 GD의 비는 EZ 대 HQ의 비와 같다고 하자. 그리고 AB, GD, EZ, HQ 위에 서로 닮았고 닮은 방식으로 놓인 평행육면체 입체 KA, LG, ME, NH가 그려졌다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ, οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ.
ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΑ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τῷ ΛΓ, τὸ ΚΑ ἄρα πρὸς τὸ ΛΓ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΚ πρὸς τὸ ΛΓ, οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ.
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ΑΚ στερεὸν πρὸς τὸ ΛΓ στερεόν, οὕτως τὸ ΜΕ στερεὸν πρὸς τὸ ΝΗ·
나는 말한다, KA 대 LG의 비는 ME 대 NH의 비와 같다. 왜냐하면 평행육면체 입체 KA가 LG와 닮았으므로, 따라서 KA 대 LG의 비는 AB 대 GD의 비의 세 배 비를 갖는다. 같은 이유로 ME 대 NH의 비도 EZ 대 HQ의 비의 세 배 비를 갖는다. 그리고 AB 대 GD의 비는 EZ 대 HQ의 비와 같다. 그러므로 AK 대 LG의 비도 ME 대 NH의 비와 같다. 그런데 이제 입체 AK 대 입체 LG의 비가 입체 ME 대 NH의 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ.
ἐπεὶ γὰρ πάλιν τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, ἔχει δὲ καὶ τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, καί ἐστιν ὡς τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ, οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ.
ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι καὶ τὰ ἑξῆς τῆς προτάσεως·
나는 말한다, 직선 AB 대 GD의 비는 EZ 대 HQ의 비와 같다. 왜냐하면 다시, KA 대 LG의 비는 AB 대 GD의 비의 세 배 비를 갖고, ME 대 NH의 비도 EZ 대 HQ의 비의 세 배 비를 가지며, KA 대 LG의 비는 ME 대 NH의 비와 같으므로, 따라서 AB 대 GD의 비도 EZ 대 HQ의 비와 같다. 그러므로 만일 네 직선이 비례한다면, 이하 명제와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.