§11.prop.23#1ἐκ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι·
세 평면각이 있고 그것들 중 임의의 둘이 어떻게 결합하더라도 남은 하나보다 클 때, 그것들로부터 입체각을 구성하는 것.
δεῖ δὴ τὰς τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονας εἶναι.
다만 세 각의 합은 네 직각보다 작아야 한다.
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονες ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, ἔτι δὲ αἱ τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες·
주어진 세 평면각을 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ라 하자. 그것들 중 임의의 둘은 어떻게 결합하더라도 남은 하나보다 크다고 하고, 더욱이 세 각의 합은 네 직각보다 작다고 하자.
δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι.
이때, 각 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ와 같은 각들로부터 입체각을 구성해야 한다.
Ἀπειλήφθωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ·
같은 직선 ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ를 잘라내고, ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ를 잇자.
δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι.
그러면 ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ와 같은 직선들로부터 삼각형을 구성하는 것이 가능하다.
συνεστάτω τὸ ΛΜΝ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΓ τῇ ΛΜ, τὴν δὲ ΔΖ τῇ ΜΝ, καὶ ἔτι τὴν ΗΚ τῇ ΝΛ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΜΝ τρίγωνον κύκλος ὁ ΛΜΝ καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον καὶ ἔστω τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ·
삼각형 ΛΜΝ을, ΑΓ는 ΛΜ과 같고, ΔΖ는 ΜΝ과 같으며, 더욱이 ΗΚ는 ΝΛ과 같도록 구성하고, 삼각형 ΛΜΝ 주위에 원 ΛΜΝ을 외접시키고 그것의 중심을 취하여 Ξ라 하자. 그리고 ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ를 잇자.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ μείζων ἐστὶ τῆς ΛΞ. εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ ἢ ἐλάττων.
나는 ΑΒ가 ΛΞ보다 크다고 주장한다. 만약 그렇지 않다면, ΑΒ는 ΛΞ와 같거나 또는 작다.
ἔστω πρότερον ἴση.
먼저 같다고 하자.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ, ἀλλὰ ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΞΛ τῇ ΞΜ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΛΞ, ΞΜ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
그리고 ΑΒ는 ΛΞ와 같고, 한편 ΑΒ는 ΒΓ와 같으며 ΞΛ은 ΞΜ과 같으므로, 두 직선 ΑΒ, ΒΓ는 두 직선 ΛΞ, ΞΜ과 각각 서로 같다.
καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΛΜ ὑπόκειται ἴση·
그리고 밑변 ΑΓ는 밑변 ΛΜ과 같다고 가정되었다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΞΜ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 ΑΒΓ는 각 ΛΞΜ과 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ τῇ ὑπὸ ΜΞΝ ἐστιν ἴση, καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΗΘΚ τῇ ὑπὸ ΝΞΛ·
똑같은 이유로, 각 ΔΕΖ도 각 ΜΞΝ과 같고, 더욱이 각 ΗΘΚ도 각 ΝΞΛ과 같다.
αἱ ἄρα τρεῖς αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ γωνίαι τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ εἰσιν ἴσαι.
그러므로 세 각 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ는 세 각 ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ과 같다.
ἀλλὰ αἱ τρεῖς αἱ ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ τέτταρσιν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι·
그런데 세 각 ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ은 네 직각과 같다.
καὶ αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τέτταρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
그러므로 세 각 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ도 네 직각과 같다.
ὑπόκεινται δὲ καὶ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες·
그런데 그것들은 네 직각보다 작다고 가정되었다.
ὅπερ ἄτοπον.
이는 모순이다.
οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ ἴση ἐστίν.
그러므로 ΑΒ는 ΛΞ와 같지 않다.
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω·
다음으로 나는 ΑΒ가 ΛΞ보다 작지도 않다고 주장한다. 왜냐하면 가능하다면 그렇다고 하자.
καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ ΞΟ, τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ ΞΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΞΟ τῇ ΞΠ·
그리고 ΑΒ와 같도록 ΞΟ를, ΒΓ와 같도록 ΞΠ를 놓고, ΟΠ를 잇자. 그리고 ΑΒ는 ΒΓ와 같으므로, ΞΟ도 ΞΠ와 같다.
ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ΛΟ τῇ ΠΜ ἐστιν ἴση.
따라서 남은 ΛΟ도 ΠΜ과 같다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΟΠ, καὶ ἰσογώνιον τὸ ΛΜΞ τῷ ΟΠΞ·
그러므로 ΛΜ은 ΟΠ와 평행하고, 삼각형 ΛΜΞ는 삼각형 ΟΠΞ와 등각이다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΞΛ πρὸς ΛΜ, οὕτως ἡ ΞΟ πρὸς ΟΠ·
그러므로 ΞΛ 대 ΛΜ은 ΞΟ 대 ΟΠ와 같다.
ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΛΞ πρὸς ΞΟ, οὕτως ἡ ΛΜ πρὸς ΟΠ. μείζων δὲ ἡ ΛΞ τῆς ΞΟ·
교대하면, ΛΞ 대 ΞΟ는 ΛΜ 대 ΟΠ와 같다. 그런데 ΛΞ는 ΞΟ보다 크다.
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΛΜ τῆς ΟΠ. ἀλλὰ ἡ ΛΜ κεῖται τῇ ΑΓ ἴση·
그러므로 ΛΜ도 ΟΠ보다 크다. 그런데 ΛΜ은 ΑΓ와 같도록 놓였다.
καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΟΠ μείζων ἐστίν.
그러므로 ΑΓ도 ΟΠ보다 크다.
ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΟΞ, ΞΠ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσεως τῆς ΟΠ μείζων ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΟΞΠ μείζων ἐστίν.
그러므로 두 직선 ΑΒ, ΒΓ는 두 직선 ΟΞ, ΞΠ와 같고, 밑변 ΑΓ는 밑변 ΟΠ보다 크므로, 그러므로 각 ΑΒΓ는 각 ΟΞΠ보다 크다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ τῆς ὑπὸ ΜΞΝ μείζων ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΝΞΛ. αἱ ἄρα τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τριῶν τῶν ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ μείζονές εἰσιν.
마찬가지로 각 ΔΕΖ도 각 ΜΞΝ보다 크고, 각 ΗΘΚ도 각 ΝΞΛ보다 크다는 것을 보일 것이다. 그러므로 세 각 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ는 세 각 ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ보다 크다.
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες ὑπόκεινται·
그런데 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ는 네 직각보다 작다고 가정되었다.
πολλῷ ἄρα αἱ ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
그러므로 세 각 ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ은 네 직각보다 훨씬 더 작다.