§11.prop.24ἐὰν στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιέχηται, τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν.
만약 입체가 평행한 평면들에 의해 둘러싸여 있다면, 그것의 마주보는 평면들은 서로 같고 또한 평행사변형이다.
στερεὸν γὰρ τὸ ΓΔΘΗ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιεχέσθω τῶν ΑΓ, ΗΖ, ΑΘ, ΔΖ, ΒΖ, ΑΕ·
왜냐하면 입체 ΓΔΘΗ가 평행한 평면들 ΑΓ, ΗΖ, ΑΘ, ΔΖ, ΒΖ, ΑΕ에 의해 둘러싸여 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν.
나는 그것의 마주보는 평면들이 서로 같고 또한 평행사변형이라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΗ, ΓΕ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν.
왜냐하면 두 평행한 평면 ΒΗ, ΓΕ가 평면 ΑΓ에 의해 잘리므로, 그것들의 공통의 교선들은 평행 하다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ. πάλιν, ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖ, ΑΕ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν.
그러므로 ΑΒ는 ΔΓ와 평행하다. 다시, 두 평행한 평면 ΒΖ, ΑΕ가 평면 ΑΓ에 의해 잘리므로, 그것들의 공통의 교선들은 평행하다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΑΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ παράλληλος·
그러므로 ΒΓ는 ΑΔ와 평행하다. 그런데 ΑΒ도 ΔΓ와 평행하다고 증명되었다.
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν ΔΖ, ΖΗ, ΗΒ, ΒΖ, ΑΕ παραλληλόγραμμόν ἐστιν.
그러므로 ΑΓ는 평행사변형이다. 똑같은 이유로 우리는 ΔΖ, ΖΗ, ΗΒ, ΒΖ, ΑΕ 각각도 평행사변형임을 보일 것이다.
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ, ΔΖ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΘ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας τὰς ΔΓ, ΓΖ ἁπτομένας ἀλλήλων εἰσὶν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ·
ΑΘ, ΔΖ를 잇자. 그리고 ΑΒ는 ΔΓ와 평행하고 ΒΘ는 ΓΖ와 평행하므로, 서로 만나는 두 직선 ΑΒ, ΒΘ는 서로 만나며 동일한 평면 위에 있지 않은 두 직선 ΔΓ, ΓΖ와 평행하다.
ἴσας ἄρα γωνίας περιέξουσιν·
그러므로 그것들은 같은 각을 둘러쌀 것이다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΖ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΘ δυσὶ ταῖς ΔΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΔΓΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
그러므로 각 ΑΒΘ는 각 ΔΓΖ와 같다. 그리고 두 직선 ΑΒ, ΒΘ는 두 직선 ΔΓ, ΓΖ와 같고 각 ΑΒΘ는 각 ΔΓΖ와 같으므로, 그러므로 밑변 ΑΘ는 밑변 ΔΖ와 같고, 삼각형 ΑΒΘ는 삼각형 ΔΓΖ와 같다.
καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΒΘ διπλάσιον τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ ΔΓΖ διπλάσιον τὸ ΓΕ παραλληλόγραμμον·
그런데 평행사변형 ΒΗ는 삼각형 ΑΒΘ의 두 배이고, 평행사변형 ΓΕ는 삼각형 ΔΓΖ의 두 배이다.
ἴσον ἄρα τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΓΕ παραλληλογράμμῳ.
그러므로 평행사변형 ΒΗ는 평행사변형 ΓΕ와 같다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ μὲν ΑΓ τῷ ΗΖ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΑΕ τῷ ΒΖ.
ἐὰν ἄρα στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιέχηται, τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν·
똑같은 이유로 우리는 ΑΓ도 ΗΖ와 같고, ΑΕ도 ΒΖ와 같음을 보일 것이다. 그러므로 만약 입체가 평행한 평면들에 의해 둘러싸여 있다면, 그것의 마주보는 평면들은 서로 같고 또한 평행사변형이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이었다.
§11.prop.25ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔσται ὡς ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν, οὕτως τὸ στερεὸν πρὸς τὸ στερεόν.
만약 평행육면체 입체가 마주보는 평면들과 평행한 평면에 의해 잘린다면, 밑변이 밑변에 대하는 비율은 입체가 입체에 대하는 비율과 같을 것이다.
στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ ΑΒΓΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΖΗ τετμήσθω παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς ΡΑ, ΔΘ·
왜냐하면 평행육면체 입체 ΑΒΓΔ가 마주보는 평면들 ΡΑ, ΔΘ와 평행한 평면 ΖΗ에 의해 잘렸다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕΖΦ βάσις πρὸς τὴν ΕΘΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒΖΥ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΗΓΔ στερεόν.
나는 밑변 ΑΕΖΦ가 밑변 ΕΘΓΖ에 대하는 비율은 입체 ΑΒΖΥ가 입체 ΕΗΓΔ에 대하는 비율과 같다고 주장한다.
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΘ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη, καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΑΕ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΑΚ, ΚΛ, τῇ δὲ ΕΘ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΘΜ, ΜΝ, καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΛΟ, ΚΦ, ΘΧ, ΜΣ παραλληλόγραμμα καὶ τὰ ΛΠ, ΚΡ, ΔΜ, ΜΤ στερεά.
왜냐하면 ΑΘ가 양쪽 방향으로 연장되었다고 하자. 그리고 ΑΕ와 같은 임의의 수의 직선 ΑΚ, ΚΛ이 놓이고, ΕΘ와 같은 임의의 수의 직선 ΘΜ, ΜΝ이 놓였다고 하자. 그리고 평행사변형 ΛΟ, ΚΦ, ΘΧ, ΜΣ와 입체 ΛΠ, ΚΡ, ΔΜ, ΜΤ가 완성되었다고 하자.
καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΛΚ, ΚΑ, ΑΕ εὐθεῖαι ἀλλήλαις, ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ μὲν ΛΟ, ΚΦ, ΑΖ παραλληλόγραμμα ἀλλήλοις, τὰ δὲ ΚΞ, ΚΒ, ΑΗ ἀλλήλοις καὶ ἔτι τὰ ΛΨ, ΚΠ, ΑΡ ἀλλήλοις·
그리고 직선 ΛΚ, ΚΑ, ΑΕ는 서로 같으므로, 평행사변형 ΛΟ, ΚΦ, ΑΖ도 서로 같고, ΚΞ, ΚΒ, ΑΗ도 서로 같으며, 또한 ΛΨ, ΚΠ, ΑΡ도 서로 같다.
ἀπεναντίον γάρ.
왜냐하면 그것들은 마주보고 있기 때문이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ μὲν ΕΓ, ΘΧ, ΜΣ παραλληλόγραμμα ἴσα εἰσὶν ἀλλήλοις, τὰ δὲ ΘΗ, ΘΙ, ΙΝ ἴσα εἰσὶν ἀλλήλοις, καὶ ἔτι τὰ ΔΘ, ΜΩ, ΝΤ·
똑같은 이유로 평행사변형 ΕΓ, ΘΧ, ΜΣ도 서로 같고, ΘΗ, ΘΙ, ΙΝ도 서로 같으며, 또한 ΔΘ, ΜΩ, ΝΤ도 같다.
τρία ἄρα ἐπίπεδα τῶν ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ στερεῶν τρισὶν ἐπιπέδοις ἐστὶν ἴσα.
그러므로 입체 ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ의 세 평면은 세 평면과 같다.
ἀλλὰ τὰ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἐστὶν ἴσα·
그런데 그 세 평면은 마주보는 세 평면과 같다.
τὰ ἄρα τρία στερεὰ τὰ ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
그러므로 세 입체 ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ는 서로 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ τρία στερεὰ τὰ ΕΔ, ΔΜ, ΜΤ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
똑같은 이유로 세 입체 ΕΔ, ΔΜ, ΜΤ도 서로 같다.
ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΑΖ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΑΥ στερεοῦ.
그러므로 밑변 ΛΖ가 밑변 ΑΖ의 몇 배이든, 입체 ΛΥ도 입체 ΑΥ의 그만큼의 배수이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΖ βάσις τῆς ΖΘ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΝΥ στερεὸν τοῦ ΘΥ στερεοῦ.
똑같은 이유로 밑변 ΝΖ가 밑변 ΖΘ의 몇 배이든, 입체 ΝΥ도 입체 ΘΥ의 그만큼의 배수이다.
καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΖ βάσις τῇ ΝΖ βάσει, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τῷ ΝΥ στερεῷ, καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΝΖ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΝΥ στερεοῦ, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει.
그리고 만약 밑변 ΛΖ가 밑변 ΝΖ와 같다면 입체 ΛΥ도 입체 ΝΥ와 같고, 만약 밑변 ΛΖ가 밑변 ΝΖ보다 크다면 입체 ΛΥ도 입체 ΝΥ보다 크며, 만약 작다면 작다.
τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν βάσεων τῶν ΑΖ, ΖΘ, δύο δὲ στερεῶν τῶν ΑΥ, ΥΘ, εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν ΑΖ βάσεως καὶ τοῦ ΑΥ στερεοῦ ἥ τε ΛΖ βάσις καὶ τὸ ΛΥ στερεόν, τῆς δὲ ΘΖ βάσεως καὶ τοῦ ΘΥ στερεοῦ ἥ τε ΝΖ βάσις καὶ τὸ ΝΥ στερεόν, καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΖΝ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΝΥ, καὶ εἰ ἴση, ἴσον, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει.
이제 네 개의 양, 즉 두 밑변 ΑΖ, ΖΘ와 두 입체 ΑΥ, ΥΘ가 있을 때, 밑변 ΑΖ와 입체 ΑΥ의 같은 배수로서 밑변 ΛΖ와 입체 ΛΥ가 취해졌고, 밑변 ΘΖ와 입체 ΘΥ의 같은 배수로서 밑변 ΝΖ와 입체 ΝΥ가 취해졌으며, 만약 밑변 ΛΖ가 밑변 ΖΝ보다 크다면 입체 ΛΥ도 입체 ΝΥ보다 크고, 만약 같다면 같고, 만약 작다면 작다는 것이 증명되었다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ βάσις πρὸς τὴν ΖΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΥ στερεὸν πρὸς τὸ ΥΘ στερεόν·
그러므로 밑변 ΑΖ가 밑변 ΖΘ 에 대하는 비율은 입체 ΑΥ가 입체 ΥΘ에 대하는 비율과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이었다.