§11.prop.16ἐὰν δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνηται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν.
만약 두 평행한 평면이 어떤 평면에 의해 잘린다면, 그것들의 공통의 교선들은 서로 평행하다.
δύο γὰρ ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΕΖΗΘ τεμνέσθω, κοιναὶ δὲ αὐτῶν τομαὶ ἔστωσαν αἱ ΕΖ, ΗΘ·
왜냐하면 두 평행한 평면 ΑΒ, ΓΔ가 평면 ΕΖΗΘ에 의해 잘린다고 하자. 그리고 그것들의 공통의 교선들을 ΕΖ, ΗΘ라 하자.
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ.
εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμεναι αἱ ΕΖ, ΗΘ ἤτοι ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Ε, Η συμπεσοῦνται.
나는 ΕΖ가 ΗΘ와 평행하다고 주장한다. 만약 그렇지 않다면, 연장된 ΕΖ, ΗΘ는 Ζ, Θ 쪽이나 Ε, Η 쪽에서 만날 것이다.
ἐκβεβλήσθωσαν ὡς ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη καὶ συμπιπτέτωσαν πρότερον κατὰ τὸ Κ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖΚ ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ, καὶ πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς ΕΖΚ σημεῖα ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ.
먼저 Ζ, Θ 쪽으로 연장되어 점 Κ에서 만난다고 하자. 그리고 ΕΖΚ가 평면 ΑΒ 위에 있으므로, 따라서 ΕΖΚ 위의 모든 점들도 평면 ΑΒ 위에 있다.
ἓν δὲ τῶν ἐπὶ τῆς ΕΖΚ εὐθείας σημείων ἐστὶ τὸ Κ·
그런데 직선 ΕΖΚ 위의 점들 중 하나가 Κ이다.
τὸ Κ ἄρα ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ.
그러므로 Κ는 평면 ΑΒ 위에 있다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ Κ καὶ ἐν τῷ ΓΔ ἐστιν ἐπιπέδῳ·
같은 이유로 Κ는 평면 ΓΔ 위에도 있다.
τὰ ΑΒ, ΓΔ ἄρα ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται.
그러므로 평면 ΑΒ, ΓΔ는 연장될 때 만날 것이다.
οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παράλληλα ὑποκεῖσθαι·
하지만 그것들은 평행하다고 가정되어 있으므로 만나지 않는다.
οὐκ ἄρα αἱ ΕΖ, ΗΘ εὐθεῖαι ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη συμπεσοῦνται.
그러므로 직선 ΕΖ, ΗΘ는 Ζ, Θ 쪽으로 연장되어도 만나지 않는다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι αἱ ΕΖ, ΗΘ εὐθεῖαι οὐδὲ ἐπὶ τὰ Ε, Η μέρη ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται.
마찬가지로 직선 ΕΖ, ΗΘ는 Ε, Η 쪽으로 연장되어도 만나지 않음을 보일 것이다.
αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι παράλληλοί εἰσιν.
그런데 어느 쪽으로도 만나지 않는 직선들은 평행하다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ.
ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνηται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν·
그러므로 ΕΖ는 ΗΘ와 평행하다. 그러므로 만약 두 평행한 평면이 어떤 평면에 의해 잘린다면, 그것들의 공통의 교선들은 평행하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§11.prop.17ἐὰν δύο εὐθεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμνωνται εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται.
만약 두 직선이 평행한 평면들에 의해 잘린다면, 그것들은 같은 비로 잘릴 것이다.
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΗΘ, ΚΛ, ΜΝ τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ Α, Ε, Β, Γ, Ζ, Δ σημεῖα·
왜냐하면 두 직선 ΑΒ, ΓΔ가 평행한 평면들 ΗΘ, ΚΛ, ΜΝ에 의해 점 Α, Ε, Β, Γ, Ζ, Δ에서 잘린다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΔ, ΑΔ, καὶ συμβαλλέτω ἡ ΑΔ τῷ ΚΛ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ξ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΞ, ΞΖ. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΚΛ, ΜΝ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΕΒΔΞ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΕΞ, ΒΔ παράλληλοί εἰσιν.
나는 직선 ΑΕ의 ΕΒ에 대한 비가 ΓΖ의 ΖΔ에 대한 비와 같다고 주장한다. 왜냐하면 ΑΓ, ΒΔ, ΑΔ가 이어지고, ΑΔ가 평면 ΚΛ과 점 Ξ에서 만나게 하며, ΕΞ, ΞΖ가 이어졌다고 하자. 그리고 두 평행한 평면 ΚΛ, ΜΝ이 평면 ΕΒΔΞ에 의해 잘리므로, 그것들의 공통의 교선 ΕΞ, ΒΔ는 평행하다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΗΘ, ΚΛ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΞΖΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΑΓ, ΞΖ παράλληλοί εἰσιν.
같은 이유로, 두 평행한 평면 ΗΘ, ΚΛ이 평면 ΑΞΖΓ에 의해 잘리므로, 그것들의 공통의 교선 ΑΓ, ΞΖ는 평행하다.
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΔ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΔ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΕΞ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ. πάλιν ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΔΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΓ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΞΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ·
그리고 삼각형 ΑΒΔ에서 일변 ΒΔ와 평행하게 직선 ΕΞ가 보내졌으므로, 따라서 비례식에 의해, ΑΕ의 ΕΒ에 대한 비는 ΑΞ의 ΞΔ에 대한 비와 같다. 다시, 삼각형 ΑΔΓ에서 일변 ΑΓ와 평행하게 직선 ΞΖ가 보내졌으므로, 비례식에 의해, ΑΞ의 ΞΔ에 대한 비는 ΓΖ의 ΖΔ에 대한 비와 같다. 그런데 ΑΞ의 ΞΔ에 대한 비는 ΑΕ의 ΕΒ에 대한 비와 같다는 것도 보였다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ.
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμνωνται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται·
그러므로 ΑΕ의 ΕΒ에 대한 비는 ΓΖ의 ΖΔ에 대한 비와 같다. 그러므로 만약 두 직선이 평행한 평면들에 의해 잘린다면, 그것들은 같은 비로 잘릴 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.