§11.prop.11ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου μετεώρου ἐπὶ τὸ δοθὲν ἐπίπεδον κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
주어진 공중에 있는 점으로부터 주어진 평면에 수직인 직선을 긋기.
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον μετέωρον τὸ Α, τὸ δὲ δοθὲν ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον·
주어진 공중에 있는 점을 Α라 하고, 주어진 평면을 밑에 놓인 평면이라 하자.
δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
점 Α로부터 밑에 놓인 평면에 수직인 직선을 그어야 한다.
διήχθω γάρ τις ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΒΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ. εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΔ κάθετός ἐστι καὶ ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν.
왜냐하면 밑에 놓인 평면 위에 임의의 직선 ΒΓ가 그어졌다고 하고, 점 Α로부터 ΒΓ에 수직인 ΑΔ가 그어졌다고 하자. 만약 ΑΔ가 밑에 놓인 평면에 대해서도 수직이라면, 요구된 일이 이루어졌을 것이다.
εἰ δὲ οὔ, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῇ ΒΓ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἡ ΑΖ, καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΔΑ, ΔΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, ἡ ΒΓ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΕΔΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
만약 그렇지 않다면, 점 Δ로부터 ΒΓ에 대해 밑에 놓인 평면 안에서 수직이 되도록 ΔΕ가 그어지고, Α로부터 ΔΕ에 수직이 되도록 ΑΖ가 그어지고, 점 Ζ를 지나며 ΒΓ와 평행하도록 ΗΘ가 그어졌다고 하자. 그리고 ΒΓ는 ΔΑ, ΔΕ 각각과 수직이므로, ΒΓ는 ΕΔΑ를 지나는 평면과도 수직이다.
καί ἐστιν αὐτῇ παράλληλος ἡ ΗΘ·
그리고 ΗΘ는 이것과 평행하다.
ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται·
그런데 만약 두 직선이 평행하고 그 중 하나가 어떤 평면에 수직이면, 나머지 하나도 같은 평면에 수직일 것이다.
καὶ ἡ ΗΘ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
따라서 ΗΘ도 ΕΔ, ΔΑ를 지나는 평면과 수직이다.
καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΗΘ. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΑΖ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ·
그러므로 ΗΘ는 자신과 만나고 ΕΔ, ΔΑ를 지나는 평면 위에 있는 모든 직선들과 수직이다. 그런데 ΕΔ, ΔΑ를 지나는 평면 위에 있는 ΑΖ가 그것과 만난다.
ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΖΑ·
따라서 ΗΘ는 ΖΑ와 수직이다.
ὥστε καὶ ἡ ΖΑ ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΘΗ. ἔστι δὲ ἡ ΑΖ καὶ πρὸς τὴν ΔΕ ὀρθή·
그러므로 ΖΑ도 ΘΗ와 수직이다. 그런데 ΑΖ는 ΔΕ와도 수직이다.
ἡ ΑΖ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ, ΔΕ ὀρθή ἐστιν.
따라서 ΑΖ는 ΗΘ, ΔΕ 각각과 수직이다.
ἐὰν δὲ εὐθεῖα δυσὶν εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας ἐπὶ τῆς τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται·
그런데 만약 어떤 직선이 서로 만나는 두 직선과 그 교점에서 수직으로 세워진다면, 그것은 그 직선들을 지나는 평면과도 수직일 것이다.
ἡ ΖΑ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΗΘ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
따라서 ΖΑ는 ΕΔ, ΗΘ를 지나는 평면과 수직이다.
τὸ δὲ διὰ τῶν ΕΔ, ΗΘ ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ὑποκείμενον·
그런데 ΕΔ, ΗΘ를 지나는 평면은 밑에 놓인 평면이다.
ἡ ΑΖ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
따라서 ΑΖ는 밑에 놓인 평면과 수직이다.
ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντος σημείου μετεώρου τοῦ Α ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΖ·
따라서 주어진 공중에 있는 점 Α로부터 밑에 놓인 평면에 수직인 직선 ΑΖ가 그어졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 바이다.
§11.prop.12τῷ δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ δοθέντος σημείου πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖαν γραμμὴν ἀναστῆσαι.
주어진 평면에 대해, 그 평면 위에 주어진 점으로부터 수직인 직선을 세우기.
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον, τὸ δὲ πρὸς αὐτῷ σημεῖον τὸ Α·
주어진 평면을 밑에 놓인 평면이라 하고, 그 평면 위에 주어진 점을 Α라 하자.
δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖαν γραμμὴν ἀναστῆσαι.
점 Α로부터 밑에 놓인 평면에 수직인 직선을 세워야 한다.
νενοήσθω τι σημεῖον μετέωρον τὸ Β, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΔ.
ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσιν αἱ ΑΔ, ΓΒ, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἡ ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
공중에 있는 어떤 점 Β가 상상되고, Β로부터 밑에 놓인 평면에 수직인 수선 ΒΓ가 그어지고, 점 Α를 지나며 ΒΓ와 평행하도록 ΑΔ가 그어졌다고 하자. 두 직선 ΑΔ, ΓΒ가 평행하고 그 중 하나인 ΒΓ가 밑에 놓인 평면에 수직이므로, 나머지 하나인 ΑΔ도 밑에 놓인 평면에 수직 이다.
τῷ ἄρα δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ σημείου τοῦ Α πρὸς ὀρθὰς ἀνέσταται ἡ ΑΔ·
따라서 주어진 평면에 대해 그 평면 위에 있는 점 Α로부터 수직인 직선 ΑΔ가 세워졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 바이다.
§11.prop.13ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς οὐκ ἀναστήσονται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.
같은 점으로부터 같은 평면에 대해, 같은 쪽으로 두 개의 수직인 직선을 세울 수 없다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Α τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτωσαν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, καὶ διήχθω τὸ διὰ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἐπίπεδον·
왜냐하면 만약 가능하다면, 같은 점 Α로부터 밑에 놓인 평면에 대해, 같은 쪽으로 두 직선 ΑΒ, ΑΓ가 수직으로 세워졌다고 하고, ΒΑ, ΑΓ를 지나는 평면이 그어졌다고 하자.
τομὴν δὴ ποιήσει διὰ τοῦ Α ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν.
그것은 밑에 놓인 평면에서 점 Α를 지나는 하나의 직선을 교선으로 만들 것이다.
ποιείτω τὴν ΔΑΕ·
그것을 ΔΑΕ라 하자.
αἱ ἄρα ΑΒ, ΑΓ, ΔΑΕ εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
따라서 직선 ΑΒ, ΑΓ, ΔΑΕ는 한 평면 위에 있다.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΑ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.
그리고 ΓΑ는 밑에 놓인 평면에 수직이므로, 그것은 자신과 만나고 밑에 놓인 평면 위에 있는 모든 직선들과 직각을 이룰 것이다.
ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΔΑΕ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ·
그런데 밑에 놓인 평면 위에 있는 ΔΑΕ가 그것과 만난다.
ἡ ἄρα ὑπὸ ΓΑΕ γωνία ὀρθή ἐστιν.
따라서 각 ΓΑΕ는 직각이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ὀρθή ἐστιν·
같은 이유로 각 ΒΑΕ도 직각이다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΑΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. καί εἰσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ·
따라서 각 ΓΑΕ는 각 ΒΑΕ와 같다. 그리고 그것들은 한 평면 위에 있다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθήσονται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη·
따라서 같은 점으로부터 같은 평면에 대해, 같은 쪽으로 두 직선을 수직으로 세울 수 없다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.