§10.prop3.91ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς πρώτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.
만약 어떤 넓이가 유리선과 제1 아포토메에 의해 둘러싸인다면, 그 넓이를 제곱하는 (선)은 아포토메이다.
περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒ ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς πρώτης τῆς ΑΔ·
실제로 넓이 AB가 유리선 AC와 제1 아포토메 AD에 의해 둘러싸여 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.
나는 넓이 AB를 제곱하는 (선)이 아포토메라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστι πρώτη ἡ ΑΔ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ·
왜냐하면 AD는 제1 아포토메이므로, 그것의 부가선을 DH라고 하자.
αἱ ΑΗ, ΗΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 AH, HD는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
καὶ ὅλη ἡ ΑΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, καὶ ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
그리고 전체 AH는 설정된 유리선 AC와 길이에서 통약할 수 있고, AH는 HD보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ.
그러므로 만약 DH 위의 정사각형의 4분의 1과 같은 (직사각형)이 정사각형 모양이 부족한 상태로 AH에 따라 응용된다면, 그것은 그녀(AH)를 길이에서 통약할 수 있는 부분들로 나눈다.
τετμήσθω ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ·
DH가 E에서 이등분되고, EH 위의 정사각형과 같은 (직사각형)이 정사각형 모양이 부족한 상태로 AH에 따라 응용되었다고 하고, 그것을 AZ, ZH에 의해 둘러싸인 직사각형이라고 하자.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ. καὶ διὰ τῶν Ε, Ζ, Η σημείων τῇ ΑΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ.
καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει, καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.
그러므로 AZ는 길이에서 ZH와 통약할 수 있다. 그리고 점 E, Z, H를 지나 AC에 평행하게 직선 EG, ZI, HK를 긋자. 그리고 AZ가 길이에서 ZH와 통약할 수 있으므로, 그러므로 AH도 AZ, ZH 각각과 길이에서 통약할 수 있다.
ἀλλὰ ἡ ΑΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ·
그러나 AH는 AC와 통약할 수 있다.
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ μήκει.
그러므로 AZ, ZH 각각도 AC와 길이에서 통약할 수 있다.
καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΑΓ·
그런데 AC는 유리적이다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΖ, ΖΗ·
그러므로 AZ, ZH 각각도 유리선이다.
ὥστε καὶ ἑκάτερον τῶν ΑΙ, ΖΚ ῥητόν ἐστιν.
따라서 넓이 AI, ZK 각각도 유리적이다.
καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.
그리고 DE가 길이에서 EH와 통약할 수 있으므로, 그러므로 DH도 DE, EH 각각과 길이에서 통약할 수 있다.
ῥητὴ δὲ ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
그런데 DH는 유리선이면서 AC와 길이에서 통약할 수 없다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
그러므로 DE, EH 각각도 유리선이면서 AC와 길이에서 통약할 수 없다.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ μέσον ἐστίν.
그러므로 넓이 DG, EK 각각은 미디얼이다.
κείσθω δὴ τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΛΟΜ τὸ ΝΞ·
이제 AI와 같은 정사각형 LM을 놓고, ZK와 같은 정사각형 NX를 그것과 각 LOM을 공통으로 가지도록 빼내자.
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.
그러므로 정사각형 LM, NX는 같은 대각선 주위에 있다.
ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
그것들의 대각선을 OP라 하고, 도형을 완성해 그리자.
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΚΖ·
그러므로 AZ, ZH에 의해 둘러싸인 직사각형이 EH 위의 정사각형과 같으므로, 그러므로 AZ가 EH에 대해 가지는 비율은 EH가 ZH에 대해 가지는 비율과 같다. 그런데 AZ가 EH에 대해 가지는 비율은 AI가 EK에 대해 가지는 비율과 같고, EH가 ZH에 대해 가지는 비율은 EK가 KZ에 대해 가지는 비율과 같다.
τῶν ἄρα ΑΙ, ΚΖ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ, ὡς ἐν τοῖς ἔμπροσθεν ἐδείχθη, καί ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΛΜ τετραγώνῳ ἴσον, τὸ δὲ ΚΖ τῷ ΝΞ·
그러므로 EK는 AI, KZ의 비례중항이다. 그런데 앞서 증명한 바와 같이 LM, NX의 비례중항도 MN이고, AI는 정사각형 LM과 같으며, KZ는 NX와 같다.
καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΚ ἴσον ἐστίν.
그러므로 MN도 EK와 같다.
ἀλλὰ τὸ μὲν ΕΚ τῷ ΔΘ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΜΝ τῷ ΛΞ·
그런데 EK는 DG와 같고, MN은 LX와 같다.
τὸ ἄρα ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΚ ἴσον τοῖς ΛΜ, ΝΞ τετραγώνοις·
그러므로 DK는 그노몬 UFX와 NX의 합과 같다. 그리고 AK도 정사각형 LM, NX의 합과 같다.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ. τὸ δὲ ΣΤ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ ἐστι τετράγωνον·
그러므로 남은 AB는 ST와 같다. 그런데 ST는 LN 위의 정사각형이다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΝ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ·
그러므로 LN 위의 정사각형은 AB와 같다.
ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ.
λέγω δή, ὅτι ἡ ΛΝ ἀποτομή ἐστιν.
그러므로 LN은 AB를 제곱한다. 이제 나는 LN이 아포토메라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΙ, ΖΚ, καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΛΜ, ΝΞ, καὶ ἑκάτερον ἄρα τῶν ΛΜ, ΝΞ ῥητόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΛΟ, ΟΝ·
왜냐하면 넓이 AI, ZK 각각이 유리적이고, 그것들이 LM, NX와 같으므로, 그러므로 정사각형 LM, NX 각각도 유리적이다. 즉, LO, ON 각각 위의 정사각형(이 유리적이다).
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΛΟ, ΟΝ ῥητή ἐστιν.
그러므로 LO, ON 각각도 유리선이다.
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΔΘ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΞ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΛΞ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ ΝΞ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ·
다시, DG는 미디얼이고 LX와 같으므로, 그러므로 LX도 미디얼이다. 그러므로 LX는 미디얼이고, NX는 유리적이므로, 그러므로 LX는 NX와 통약할 수 없다.
ὡς δὲ τὸ ΛΞ πρὸς τὸ ΝΞ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸς τὴν ΟΝ·
그리고 LX가 NX에 대해 가지는 비율은 LO가 ON에 대해 가지는 비율과 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΟ τῇ ΟΝ μήκει.
그러므로 LO는 길이에서 ON과 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 LO, ON은 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ. καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον·
그러므로 LN은 아포토메이다. 그리고 그것은 넓이 AB를 제곱한다.
ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.
그러므로 넓이 AB를 제곱하는 (선)은 아포토메이다.
ἐὰν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς, καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 만약 어떤 넓이가 유리선에 의해 둘러싸인다면, 이하 동문.